Malderivaĵo

Se f estas funkcio kun reela aŭ kompleksa argumento, nomatas kiel malderivaĵo ĉiu funkcio g, kies derivaĵo egalas al f, t.e. g′ = f.

Laŭ la fundamenta teoremo de infinitezima kalkulo, la nedifinita integralo de funkcio f ĉiam estas unu el la malderivaĵoj de f.

Funkcio	Derivaĵo	malderivaĵo
$f(x)=k\;$	$f'(x)=0\;$	$F(x)=kx+C\;$
$f(x)=x^{q}\;$	$f'(x)=qx^{q-1}\;$	$F(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {x^{q+1}}{q+1}}+C,&{\mbox{se q}}\neq -1\\\ln \|x\|+C,&{\mbox{se q}}=-1\end{matrix}}\right.$
$f(x)=e^{x}\;$	$f'(x)=e^{x}\;$	$F(x)=e^{x}+C\;$
$f(x)=a^{x}\;$	$f'(x)=a^{x}\ln a\;$	$F(x)={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C\;$
$f(x)=\ln x\;$	$f'(x)={\frac {1}{x}}\;$	$F(x)=x\ln x-x+C\;$
$f(x)=\log _{a}x\;$	$f'(x)={\frac {1}{x}}{\frac {1}{\ln a}}\;$	$F(x)={\frac {1}{\ln a}}(x\ln x-x)+C\;$
$f(x)=\sin x\;$	$f'(x)=\cos x\;$	$F(x)=-\cos x+C\;$
$f(x)=\cos x\;$	$f'(x)=-\sin x\;$	$F(x)=\sin x+C\;$
$f(x)=\tan x\;$	$f'(x)={\frac {1}{\cos ^{2}x}}\;$	$F(x)=-\ln \left\|\cos x\right\|+C\;$
$f(x)=\cot x\;$	$f'(x)={\frac {1}{\sin ^{2}x}}\;$	$F(x)=\ln \left\|\sin x\right\|+C\;$
$f(x)=\arcsin x\;$	$f'(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\;$	$F(x)=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}\;$
$f(x)=\arccos x\;$	$f'(x)={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\;$	$F(x)=x\arccos \;x-{\sqrt {1-x^{2}}}\;$
$f(x)=\arctan x\;$	$f'(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}\;$	$F(x)=x\arctan x-{\frac {1}{2}}ln\left(1+x^{2}\right)\;$
$f(x)=\sinh x\;$	$f'(x)=\cosh x\;$	$F(x)=\cosh x\;$
$f(x)=\cosh x\;$	$f'(x)=\sinh x\;$	$F(x)=\sinh x\;$
$f(x)=\tanh x\;$	$f'(x)={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\;$	$F(x)=\ln \left\|\cosh x\right\|\;$
$f(x)=\coth x\;$	$f'(x)={\frac {-1}{\sinh ^{2}x}}\;$	$F(x)=\ln \left\|\sinh x\right\|\;$
$f(x)={\text{arcsinh}}\;x\;$	$f'(x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\;$	$F(x)=x\;{\text{arcsinh}}\;x-{\sqrt {x^{2}+1}}\;$
$f(x)={\text{arccosh}}\;x\;$	$f'(x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\;,\;x>1$	$F(x)=x\;{\text{arccosh}}\;x-{\sqrt {x^{2}-1}}\;$
$f(x)={\text{arctanh}}\;x\;$	$f'(x)={\frac {1}{1-x^{2}}}\;,\;\left\|x\right\|<1$	$F(x)=x\;{\text{arctanh}}\;x+{\frac {1}{2}}\ln {\left(1-x^{2}\right)}\;$
$f(x)={\text{arccoth}}\;x\;$	$f'(x)={\frac {1}{1-x^{2}}}\;,\;\left\|x\right\|>1$	$F(x)=x\;{\text{arccoth}}\;x+{\frac {1}{2}}\ln {\left(x^{2}-1\right)}\;$

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]