Multaro

Multaro estas matematika objekto simila al aro, sed kun la diferenco ke en multaro elementoj povas plurfoje aperi. Alimaniere dirite, multaro estas neordigita opo. La koncepto de multaro estas uzata, ekzemple, en komputiko.

Same kiel arojn, oni uzas por multaroj notacion kun kunigaj krampoj. Ekzemple, {a, a, b, b, c} estas multaro. a aperas dufoje en ĝi; tial oni diras ke la elemento a havas la oblecon 2 en tiu ĉi multaro.

Formala difino

En aroteorio, multaro povas esti formale difinita kiel paro (A, m) kie A estas iu aro kaj m : A → N estas funkcio de A al la aro N de (pozitivaj) naturaj nombroj. La aro A nomiĝas la subkuŝanta aro de elementoj. Por ĉiu a en A la obleco (tio estas, la nombro de aperoj) de a estas la nombro m(a).

La koncepto de multaro estas ĝeneraligo de la koncepto de aro: Multaro estas aro se la obleco de ĉiu elemento estas 1.

Kutime en aroteorio oni difinas funkcion kiel aron de duopoj { (a, m(a)) : a ∈ A }. Ekzemple la multaro skribita kiel { a, b, b } estas difinita kiel { (a, 1), (b, 2) }, kaj la multaro skribita kiel { a, a, b } estas difinita kiel { (a, 2), (b, 1) }.

Se la aro A estas finia, la longo de la multaro (A, m) estas la sumo de ĉiuj oblecoj de la elementoj de A:

$|(A,m)|=\sum _{a\in A}m(a).$

Ekzemploj

Unu el la plej naturaj kaj simplaj ekzemploj estas la multaro de primaj faktoroj de iu nombro n. En ĉi tiu kazo la subkuŝanta aro estas la aro de primaj divizoroj de n. Ekzemple la nombro 120 havas la priman faktorigon

$120=2^{3}3^{1}5^{1}$

kies multaro estas {2, 2, 2, 3, 5}.

Alia ekzemplo estas la multaro de solvoj de algebra ekvacio. Ĉiu lernas en mezlernejo ke kvadrata ekvacio havas du solvojn, sed en iuj okazoj ili estas ambaŭ la sama nombro. Tial la multaro de solvoj de la ekvacio povis esti { 3, 5 }, aŭ ĝi povis esti { 4, 4 }. En la lasta kazo ĝi havas solvon de obleco 2.

Operacioj

La kutimaj operacioj de aroj kiel kunaĵo, komunaĵo kaj Kartezia produto povas esti facile ĝeneraligitaj por multaroj.

(A, m) kaj (B, n) estu multaroj

• La kunaĵo estas difinita kiel (A ∪ B, f) kie f(x) = (maks, maksimuma){m(x), n(x)}.
• La komunaĵo estas difinita kiel (A ∩ B, f) kie f(x) = min{m(x), n(x)}.
• La kartezia produto estas difinita kiel (A × B, f) kie f((x,y)) = m(x)n(y).

Aldone ekzistas jena operacio, kiu ne havas ekvivalenton ĉe la aroj:

• La sumo estas difinita kiel $(A,m)\biguplus (B,n)=(A\cup B,f)$ kie f(x) = m(x)+n(x).

Vidu ankaŭ

• Aro
• Aroteorio
• Funkcio
• Neakra aro