Teoremo de Poisson

Teoremo de Poisson estas teoremo en probablokalkulo.

Integro

Se ekzistas vico de provo de Bernoulli kaj se $p_{n}$ estas probablo de «sukceso», kaj $\mu _{n}$ nombro de «sukcesoj»,

Se

1. $\lim _{n\to \infty }p_{n}=0;$
2. $\lim _{n\to \infty }np_{n}=\lambda ;$
3. $\lambda >0;$

do

$\lim _{n\to \infty }P(\omega :\mu _{n}(\omega )=m)=e^{-\lambda }{\cfrac {\lambda ^{m}}{m!}}.$

Pruvo

Uzante formulon de Bernoulli, devas esti, ke

$\lim _{n\to \infty }P(\omega :\mu _{n}(\omega )=m)=C_{n}^{m}(p_{n})^{m}(1-p)^{n-m}={\cfrac {n!}{m!(n-m)!}}{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}+o{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}{\bigg )}^{m}{\bigg (}1-{\cfrac {\lambda }{n}}-o{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}{\bigg )}^{n-m}=$

$={\cfrac {1}{m}}{\cfrac {(n-m+1)(n-m+2)\ldots n}{n^{m}}}{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}+o{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}{\bigg )}^{m}{\bigg (}1-{\cfrac {\lambda }{n}}-o{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}{\bigg )}^{n-m},$

ĉar

$\lim _{n\to \infty }np_{n}=\lambda \;\Leftrightarrow \;p_{n}={\cfrac {\lambda }{n}}+o{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}$

ĉe

$\lim _{n\to \infty }{\cfrac {o{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}}{\cfrac {\lambda }{n}}}=0.$

Sed ĉar

1. $\lim _{n\to \infty }{\cfrac {(n-m+1)(n-m+2)\ldots n}{n^{m}}}={\bigg (}\lim _{n\to \infty }{\cfrac {(n-m+1)}{n}}{\bigg )}\cdot {\bigg (}\lim _{n\to \infty }{\cfrac {(n-m+2)}{n}}{\bigg )}\cdot \ldots \cdot {\bigg (}\lim _{n\to \infty }{\cfrac {(n)}{n}}{\bigg )}=1;$
2. $\lim _{n\to \infty }(\lambda +o(\lambda ))^{m}=\lambda ^{m};$
3. $\lim _{n\to \infty }{\bigg (}1-{\cfrac {\lambda }{n}}-o{\bigg (}{\cfrac {\lambda }{n}}{\bigg )}{\bigg )}=e^{-\lambda },$

ĉe devita egalaĵo turniĝas en

$\lim _{n\to \infty }P(\omega :\mu _{n}(\omega )=m)=e^{-\lambda }{\cfrac {\lambda ^{m}}{m!}}.$

Q.E.D.