Trenkurbo

Trenkurbo

La trenkurbo estas desegnata per trenado de objekto fare de la trenanto paŝanta rekte.

Je geometrio, la trenkurbo (latine tractrix) estas ebena transcenda kurbo, kiu estas solvo de ordinara diferenciala ekvacio kiu modelas tiradon de peza objekto sub frotado.

Difino

La trenkurbo estas la ebena kurbo, kies formo en kartezia koordinatsistemo $(x,y)$ estas la jena:

$y=\pm \int _{x}^{1}{\frac {\sqrt {1-t^{2}}}{t}}\,\mathrm {d} t=\pm \left(\ln {\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}-{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$.

La trenkurbo estas mekanike priskribebla. Supozu ke peza objekto kuŝas ĉe $(1,0)$, kaj oni staras ĉe la origino, kun ŝnuro de longo 1 liganta onin kaj la objekto. Supozu ke oni marŝas laŭ la $y$-akso, plusen aŭ minusen. Do, ĉar la longo de la ŝnuro estas fiksita, oni trenas la objektoj post si. Kiam la tirataĵo kuŝas ĉe $(x,y)$, do la tiranto staras ĉe

$(0,y+\operatorname {sgn} (y)\,{\sqrt {1-x^{2}}})$.

Pro la tirado, la deklivo de la ŝnuro (${\sqrt {1-x^{2}}}/x$) egalas tion de la tanĝo de la kurbo $\mathrm {d} y/\mathrm {d} x$; tial,

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=\pm {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$,

kaj la trenkurbo estas la solvo de ĉi tiu ordinara diferenciala ekvacio.

Historio

La trenkurbo estis malkovrita de Claude Perrault en 1670. Poste, Isaac Newton (1676) kaj Christiaan Huygens (1692) ankaŭ studis la kurbon.

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Tractrix en MathWorld.