Spaco de Minkowski

En fiziko kaj matematiko, spaco de Minkowski aŭ spactempo de Minkowski estas la matematika priskribo de spactempo de speciala teorio de relativeco. Tri ordinaraj dimensioj de spaco estas kombinitaj kun unu dimensio de tempo por formi kvar-dimensian sternaĵon de spactempo. Spaco de Minkowski estas nomita post la germana matematikisto Hermann Minkowski.

En teoria fiziko, spaco de Minkowski estas ofte kontrastita kun eŭklida spaco. Eŭklida spaco havas nur spacosimilajn dimensiojn, dum kiam spaco de Minkowski havas ankaŭ unu temposimilan dimension. Pro tio la geometria simetria grupo de eŭklida spaco estas la eŭklida grupo kaj geometria simetria grupo de spaco de Minkowski estas la grupo de Poincaré.

Strukturo

Formale, spaco de Minkowski estas kvar-dimensia reela vektora spaco kun nedegenera simetria dulineara funkcio kun signumoj (-, +, +, +) aŭ (+, -, -, -). Ĝenerale, en matematiko kaj ĝenerala relativeco oni preferas la unuan varianton kaj en la partikla fiziko oni preferas la duan. Tiel, spaco de Minkowski estas pseŭdo-eŭklida spaco kun n=4 kaj n-k=1 (en pli larĝa difino ĉiu n>1 estas permesita). Elementoj en spaco de Minkowski estas eventoj aŭ kvar-vektoroj. Spaco de Minkowski estas ofte skribata kiel R^1,3 por emfazi la signumojn aŭ M⁴ aŭ simple M. Ĝi estas eble la plej simpla ekzemplo de pseŭdo-rimana sternaĵo.

La ena produto de Minkowski

La ena produto de Minkowski similas al la kutima eŭklida ena produto, sed estas uzata por priskribi malsaman geometrion. La geometrio estas kutime asociita kun relativeco. Estu M esti 4-dimensia reela vektora spaco. La ena produto de Minkowski estas mapo η: M × M → R (kio estas, por ĉiuj donitaj du vektoroj v, w en M oni difinas η(v, w) kiel reela nombro) kiu kontentigas propraĵojn (1), (2), (3) listigitajn ĉi tie, kaj ankaŭ propraĵon (4) donitan pli sube:

(1) dulineara

η(u + v, w) = η(u, w) + η(v, w)

η(u, v + w) = η(u, v) + η(u, w)

η(au, v) = aη(u, v)

η(u, av) = aη(u, v)

por ĉiuj a en R kaj u, v, w en M.

(2) simetria

η(v, w) = η(w, v)

por ĉiuj v,w en M.

(3) nedegenera

Se η(v, w) = 0 por ĉiuj w en M do v=0.

Ĉi tio ne estas ena produto en la kutima senco, pro tio ke ĝi estas ne pozitive difinita, kio estas la normo de Minkowski de vektoro v, difinita kiel v² = η(v, v), ne nepre estas pozitiva, malsame de la kutima normo. La kondiĉo de pozitiva difiniteco estas anstataŭita per la pli malforta kondiĉo de nedegenereco (ĉiu pozitive difinita formo estas nedegenera sed ne nepre estas ree). La ena produto estas dirita al esti nedifinita.

Simile al tio kiel okazas en eŭklida spaco, du vektoroj v kaj w estas laŭdifine perpendikularaj se kaj nur se η(v, w) = 0. Sed estas scienca paradigma ŝovo en Spaco de Minkowski al inkluzivi hiperbolo-perpendikularajn eventojn en la okazo se v kaj w generas ebenon kie η prenas negativajn valorojn. Ĉi tiu ŝovo al nova scienca paradigmo estas klarigita per komparo de la eŭklida strukturo de la ordinara kompleksa ebeno kun strukturo de la ebeno de fendo-kompleksaj nombroj.

Vektoro v estas nomata kiel unuobla vektoro se η(v, v) = ±1. Bazo por M konsistanta de reciproke perpendikularaj unuoblaj vektoroj estas nomata kiel ortonormala bazo.

Estas teoremo statanta ke ĉiu ena produta spaco kontentiganta la kondiĉojn (1), (2), (3) ĉiam havas ortonormalan bazon. Plu, la teoremoj statas ke la kvanto de pozitivaj kaj negativaj unuoblaj vektoroj en ĉiu ĉi tia bazo estas fiksita. Ĉi tiu paro de nombroj estas nomata kiel la signumo de la ena produto.

Tiel la kvara kondiĉo por ena produto de Minkowski estas

(4) signumo

La dulineara funkcio η havas signumon (-, +, +, +) aŭ (+, -, -, -)

Norma bazo

Norma bazo por spaco de Minkowski estas aro de kvar reciproke perpendikularaj vektoroj (e₀, e₁, e₂, e₃) tiaj ke (por signumo (-, +, +, +))

-(e₀)² = (e₁)² = (e₂)² = (e₃)² = 1

Ĉi tiuj kondiĉoj povas esti skribita kompakte kiel:

<e_μ , e_ν> = η_μν

kie μ kaj ν prenas valorojn 0, 1, 2, 3 kaj la matrico η estas

$\eta ={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

Ĉi tiu tensoro estas ofte nomata kiel la tensoro de Minkowski. Relative al norma bazo, la komponantoj de vektoro v estas skribitaj kiel (v⁰, v¹, v², v³) kaj oni ofte uzi la ejnŝtejnan skribmanieron kiel v = v^μe_μ. La komponanto v⁰ estas nomata kiel la temposimila komponanto de v kaj la aliaj tri komponantoj estas nomataj kiel la spacaj komponantoj.

Per la komponantoj, la ena produto de du vektoroj v kaj w estas donita per

<v, w> = η_μνv^μ w^ν = -v⁰w⁰ + v¹w¹ + v²w² + v³w³

kaj la kvadratigita normo de vektoro v estas

v² = η_μν v^μv^ν = -(v⁰)² + (v¹)² + (v²)² + (v³)²

Alternativa difino

La sekcio pli supre difinas la spacon de Minkowski kiel vektora spaco. Estas alternativa difino de Spaco de Minkowski kiel afina spaca kiu donas la spacon de Minkowski kiel homogena spaco de la grupo de Poincaré kun la lorenca grupo kiel la grupa ago (stabiligilo).

Noto ke la termino "spaco de Minkowski" estadas ankaŭ uzata por analogaj spacoj en ĉiu dimensio, (n+1)-dimensia spaco de Minkowski estas vektora spaco aŭ afina spaco de reelaj nombroj de dimensio n+1 sur kiu estas ena produto aŭ pseŭda-rimana metriko de signumo (n, 1), kio estas, de n plusoj kaj unu minuso.

Lorenca transformo

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Lorenca transformo.

Kaŭza strukturo

Spactempo, nur du spacaj dimensioj estas montritaj

Tempo-simila mondolinio

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Kaŭza strukturo.

Vektoroj estas klasifikita laŭ la signumo de ilia normo de Minkowski. Vektoro v estas (por signumo (-, +, +, +))

• Temposimila se η(v, v)<0
• Spacosimila se η(v, v)>0
• Nula aŭ lumosimila se η(v, v)=0

Ĉi tiu terminaro venas de la uzo de spaco de Minkowski en la fizika relativeco. La aro de ĉiuj nulvektoroj je evento en spaco de Minkowski estas la luma konuso de la evento. Klasifikaĵo de ĉiu vektoro estas sendependa de la kadro de referenco, alivorte ĝi estas invarinto sub la lorenca transformo.

Por donita temposimila vektoro v, estas mondolinio de konstanta rapido asociita kun ĝi. La aro {w : η(w, v) = 0 } respektivas al la samtempa hiperebeno je la fonto de ĉi tiu mondolinio. En spaco de Minkowski estas relativeco de samtempeco pro tio ke ĉi tiu hiperebeno dependas de v. En la ebeno generita per v kaj ĉi tia w en la hiperebeno, la rilato de w al v estas hiperbolo-perpendikulara.

Vektora kampo estas nomata kiel temposimila, spacosimila aŭ nula se la asociitaj vektoroj estas temposimilaj, spacosimilaj aŭ nulaj je ĉiu punkto kie la kampo estas difinita.

Se du nulvektoroj estas perpendikularaj (ena produto de ili egalas al nulo) do ili estas proporciaj unu al la alia.

Se direkto de tempo estas elektita, temposimilaj vektoroj kaj nulvektoroj povas esti plu klasifikitaj. Entute la klasifiko konsistas el 6 klasifikaĵoj:

• temposimila vektoro
  • estonte direktita temposimila vektoro kies unua komponanto estas pozitiva
  • pasintece direktita temposimila vektoro kies unua komponanto estas negativa
• nulvektoro
  • la nula vektoro kies komponantoj en ĉiu bazo estas (0, 0, 0, 0)
  • estonte direktita nula vektoroj kies unua komponanto estas pozitiva
  • pasintece direktita nula vektoroj kies unua komponanto estas negativa
• spacosimila vektoro

Ortonormala bazo por spaco de Minkowski bezone konsistas el unu temposimila kaj tri spacosimilaj unuoblaj vektoroj. Se labori kun ne-ortonormala bazo, eblas havi la aliajn kombinaĵojn de vektoroj. Eblas konstrui ne-ortonormalan bazon konsistantan tute el nulvektoroj, nomatan kiel la nula bazo.

Kaŭzecaj rilatoj

Estu x, y en M. Tiam:

• x tempe antaŭvenas y se y-x estas estonte direktita temposimila.
• x kaŭze antaŭvenas y se y-x estas estonte direktita nula.

Inversa neegalaĵo de triangulo

AC ≥ AB + BC

Estas analogo de neegalaĵo de triangulo en spaco de Minkowski. Se v kaj w estas du egale direktitaj (ambaŭ estonte direktitaj aŭ ambaŭ pasintece direktitaj) temposimilaj kvar-vektoroj tiam

|v+w| ≥ |v|+|w|

kie

$|v|={\sqrt {-\eta _{\mu \nu }v^{\mu }v^{\nu }}}$

Loke plata spactempo

Severe, la uzo de spaco de Minkowski por priskribi fizikajn sistemojn aplikas nur en la limigo de Newton de sistemoj sen grava gravito. En okazo de granda gravito, spactempo iĝas malrektigitan kaj necesas uzi la plenan teorion de ĝenerala relativeco sed ne specialan teorion de relativeco.

Tamen, en ĉi tiaj okazoj, spaco de Minkowski estas bona priskribo en loka referenca kadro de infinitezime malgranda regiono ĉirkaŭanta iun punkton se tie ne estas gravitaj specialaĵoj. Tiel, en ĉeesto de gravito spactempo estas priskribita per malrektigita 4-dimensia sternaĵo por kiu la tanĝanto spaco al ĉiu punkto estas 4-dimensia spaco de Minkowski. Tial, la strukturo de spaco de Minkowski estas ankoraŭ esenca en la priskribo de ĝenerala relativeco.

En la regno de malforta gravito, spactempo estas plata kaj aspektas malloke, ne nur loke, simila al spaco de Minkowski. Pro ĉi tiu kaŭzo spaco de Minkowski estas ofte nomata kiel plata spactempo.

Historio

Spaco de Minkowski estas nomata post germana matematikisto Hermann Minkowski, kiu ĉirkaŭ 1907 komprenis ke la teorio de speciala teorio de relativeco antaŭnelonge ellaborita de Albert Einstein povas esti elegante priskribita uzante kvar-dimensian spactempon.

La ebleco de ellaboro de spaco de Minkowski estas preparita per evoluo de teorio de hiperbolaj kvaternionoj en la 1890-aj jaroj. Kiel matematika strukturo, spaco de Minkowski povas esti prenita kiel hiperbolaj kvaternionoj minus la multiplika produto, retenante nur la dulinearan funkcion

$\eta (p,q)=-{\frac {pq^{\ast }+(pq^{\ast })^{\ast }}{2}}$

kiu estas generita per la hiperbola kvaterniona produto $pq^{\ast }$.

Vidu ankaŭ

• Kaŭza strukturo
• Elektromagneta tensoro
• Eŭklida spaco
• Kvar-vektoro
• Hiperbola spaco
• Hiperboloida modelo
• Lorenca sternaĵo
• Metrika tensoro
• Spactempo
• Lumrapideco
• Monda linio
• Relativisma varma kondukteco
• Programo Erlangen

Eksteraj ligiloj

• Geometrio de mondo de Minkowski
• Walter, Scott (1999). Goenner, Hubert kaj aliaj:The Expanding Worlds of General Relativity - La elvolvantaj mondoj de ĝenerala relativeco (Bostono) 45-86. Birkhäuser. ISBN 0817640606.