Vidi fonton por Hiperreela nombro

Sistemo de '''hiperreelaj nombroj''' estas rigora [[matematiko|matematika]] maniero pritrakti [[infinito]]jn kaj [[infinitezimo]]jn. Tiuj kvantoj estis vaste uzataj en matematiko kelkajn jarcentojn antaŭ enkonduko de la hiperreeloj, sed ilia uzo ĉiam estis pli [[intuicio|intuicia]] ol matematike rigora. Pro disvolvoj de [[formala logiko]] dum [[19-a jarcento|19-a]] kaj [[20-a jarcento]]j, oni povis difini kaj pritrakti ilin pli formale kaj rigore.

La aro de hiperreeloj (foje ankaŭ nomataj ''nenormaj reeloj'') *'''R''' estas [[Kampo-teorio (matematiko)|kampo-pluigaĵo]] de la aro de [[reelo]]j '''R''', kiu enhavas nombrojn pli grandajn ol iu ajn ordinara reelo. Do, aro de hiperreeloj enhavas nombron pli grandan ol io ajn de la formo

:<math>1 + 1 + \cdots + 1. \, </math>

Tiu nombro estas la [[infinito]], kaj ĝia inverto estas [[infinitezimo]]. La aro de hiperreeloj *'''R''' estas [[Aroteorio|kunigo]] de aro '''R''', aro de infinitoj kaj aro de infinitezimoj. Ĝi kongruas kun [[principo de transdono]], laŭ kiu ĉiuj [[aserto (logiko)|asertoj]] de [[unua-orda logiko]], kiuj estas veraj por iu aro, ankaŭ veras por ĉiuj vastigaĵoj de la aro. Do, bazaj algebraj [[aksiomo]]j pri reeloj ankaŭ veras pri hiperreloj - ekzemple, [[komuteco]], [[asocieco]], [[distribueco]] ktp.

Ekde unuaj logikistoj de [[Antikva Grekio]] oni disputis, ĉu estas logike ĝuste uzi senfinajn valorojn en argumentoj. Por eviti tian dubon, ekzemple, [[Eŭklido]] anstataŭigis tiajn pruvojn per aliaj teknikoj kiel [[metodo de elĉerpo]]<ref>Ball, p. 31</ref> En la [[1960-aj jaroj]] [[Abraham Robinson]] pruvis, ke hiperreeloj estas logike koheraj [[se kaj nur se]] tiaj estas la reeloj. Tio forigis dubojn kaj timojn pri uzebleco de hiperreeloj, se oni pritraktas ilin laŭ logikaj reguloj, kiujn Robinson difinis.

Apliko de la hiperreeloj kaj de principo de transdono en [[analitiko]] donis starton de nova branĉo de matematika teorio, la [[hiperreela analitiko]]. Multaj matematikistoj trovas ĝin pli logika, intuicia kaj komprenebla ol klasika [[reela analitiko]].

== La principo de transdono ==
La baza ideo pri hiperreeloj estas vastigi sistemon de reeloj '''R''' por formi sistemon *'''R''', kiu enhavu reelojn, infinitojn kaj infinitezimojn, sed sen ŝanĝo de bazaj aksiomoj de algebro. Ĉiu aserto, kiu estas vera por ĉiu reelo, ankaŭ estu vera por hiperreeloj. Ekzemple, aksiomo "por ĉiu ''x'', ''x''&nbsp;+&nbsp;0&nbsp;=&nbsp;''x''" ankaŭ apliku, se ''x'' estas hiperreelo. Same aplikas aksiomoj, kiuj estas veraj por kelkaj reeloj, ekzemple "por ĉiuj reeloj ''x'' kaj ''y'', ''xy''&nbsp;=&nbsp;''yx''." La ebleco transdoni tiajn ecojn de reeloj al hiperreeloj nomiĝas [[principo de transdono]].

Tamen, asertoj de formo "por iu [[aro]] de nombroj S..." ne nepre transdoniĝas. La asertoj, kiuj baziĝas sur [[kvantizanto|kvantizado]] super [[aro]]j (aŭ pli altnivelaj konstruoj super aroj, kiel [[funkcio]]j) ĝenerale malsamas inter reeloj kaj hiperreeloj. Tiaj logikaj asertoj, kiuj ne bezonas kvantizadon super aro, nomiĝas asertoj de [[unua-orda logiko]].

Ekzemple, en sistemo de hiperreeloj *'''R''' ekzistas elemento ''w'', por kiu

: <math> 1<w, \quad 1+1<w, \quad 1+1+1<w, \quad 1+1+1+1<w, .\ldots </math>

por iu ajn nombro de 1-oj. Tamen, en '''R''' ne ekzistas tia elemento. Tio ĉi ne kontraŭdiras la principon de transdono, ĉar (ne)ekzisto de tia ''w'' ne povas esti esprimata per asertoj de unua-orda logiko.

== Uzo en analitiko ==
=== Kalkulo kun algebraj funkcioj ===
Neformalaj skribmanieroj por nereelaj kvantoj uzeblis en klasika [[infinitezima kalkulo]] en du kuntekstoj: kiel infinitezimoj kiel ''dx'' kaj kiel simbolo ∞, uzata por infinito en [[limeso]]j, ekzemple, dum analizo de [[nepropra integralo]].

Kiel ekzemplo de principo de transdono, aserto ke por ĉiu nenula reelo ''x'', ''2x''≠''x'' estas vera, kaj do ĝi estu vera ankaŭ por hiperreeloj. Do, oni ne povas uzi ĝeneralan simbolon, kiel ∞, por ĉiuj infinitoj en hiperreela sistemo, ĉar infinitoj kaj infinitezimoj malsamas je grando.

Same, la kvazaŭ-formulo 1/0&nbsp;=&nbsp;∞ iam okaze uzata en klasika kalkulo, estas nevalida, ĉar divizio je nulo ne estas difinita por reeloj kaj do ankaŭ ne estu difinita en sistemo de hiperreeloj. Pli rigora kaj ĝusta aserto estu ke se ε estas infinitezimo, do 1/ε estas infinito.

Por ĉiu hiperreela nombro ''x'', oni difinas ĝian ''standardan parton'', st ''x'', kiel la unika reelo, kiu malsamas de ĝi nur je infinitezimo. Do, ekzemple, la [[derivaĵo]] de funkcio ''y''(''x'') estu difinita ne kiel ''dy/dx'' sed kiel standarda parto de ''dy/dx''.

Ekzemple, por derivaĵo ''f'''(''x'') de funkcio ''f''(''x'') = ''x''<sup>2</sup>, ni asumas d''x'' estas infinitezimo. Do,

:{|
|-
|<math>f'(x)\,</math>
|<math>=\operatorname{st}\left(\frac{f(x + \mathrm dx) - f(x)}{\mathrm dx}\right)</math>
|-
|
|<math>=\operatorname{st}\left(\frac{x^2 + 2x \cdot \mathrm dx +  \mathrm dx^2 -x^2}{\mathrm dx}\right)</math>
|-
|
|<math>=\operatorname{st}\left(\frac{2x \cdot \mathrm dx +  \mathrm dx^2}{\mathrm dx}\right)</math>
|-
|
|<math>=\operatorname{st}\left(2x + \mathrm dx\right)</math>
|-
|
|<math>=2x\,</math>
|}

=== Transcendaj funkcioj ===
Ĉar [[transcenda funkcio|transcendaj funkcioj]] ne estas defineblaj per finia nombro de fundamentaj algebraj operacioj, la principo de transdono rekte ne aplikeblas al ili. Tamen oni povas konsideri funkciojn super hiperreeloj kiel nefiniajn vicojn de reeloj, kiuj povas konverĝi aŭ ne konverĝi al iuj limesoj. Do, igas nature difni transcendajn funkciojn per popunkta apliko de la funkcio al ĉiuj membroj de la vico. Tio ebligas vastigi aplikeblon de transdona principo, por ke ĝi kovru vastan klason de funkcioj, rilatoj kaj aroj. Ekzemple, oni povas difini sistemon de [[hiperentjero]]j laŭ difino de [[entjeroj]], malgraŭ ke la principo de transdono per si mem ne aplikas al asertoj pri entjeroj.

=== Integraligo ===
Unu maniero difini [[difnita integralo|difinitan integralon]] en sistemo de hiperreeloj estas proklami ĝin [[sumo]] sur latiso ''a'',&nbsp;''a&nbsp;+&nbsp;dx'',&nbsp;''a&nbsp;+&nbsp;2dx'', ... ''a&nbsp;+&nbsp;ndx'', kie ''dx'' estas infinitezimo, n estas nefinia hiperentjero, kaj soba kaj supra limoj de integraligo estas ''a'' kaj ''b''&nbsp;=&nbsp;''a''&nbsp;+&nbsp;''n''&nbsp;''dx.''<ref>Keisler</ref>

== Ecoj de la aro ==
La [[aro]] de hiperreeloj *'''R''' estas [[ordigita kampo|ordigita]] [[kampo (algebro)|kampo]], kiu enhavas [[reelo]]jn kiel subkorpo. Malsimile al reeloj, la hiperreeloj ne havas difineblan [[metrika spaco|metrikan spacon]], sed, pro sia ordigiteco, havas ordan [[topologio]]n.

La uzo de vorteto ''la'' kiam ni parolas pri "la (aro de) hiperreeloj" estas ne tute ĝusta, ĉar ne estas iu evidentaĵo, ke la korpo de hiperreeloj estas unika. Tamen, en la verko de [[2003]] fare de [[Vladimir Kanovei]] kaj [[Saharon Shelah]]<ref name=kanovei2003>{{Citation | last1=Kanovei|first1=Vladimir| last2=Shelah|first2=Saharon| title=[http://shelah.logic.at/files/825.pdf A definable nonstandard model of the reals]| journal=Journal of Symbolic Logic|volume=69|year=2004| pages=159–164}}</ref> pruvas, ke ekzistas difinebla, [[ω-sata]] [[rudimenta enigo]] de reeloj, kiu do povas esti ''la'' aro de hiperreeloj.

La kondiĉoj por agnoski iun korpon hiperreela estas pli rigoraj ol por [[reela fermita korpo]], kiu enhavu na '''R'''. Ĝi estas ankaŭ pli rigora ol por [[superreela korpo]], kiun difinis [[William Hugh Woodin|W.H.Woodin]] kaj H.G.Dales<ref>{{Citation | last1=Woodin | first1=W. H. | last2=Dales | first2=H. G. | title=Super-real fields: totally ordered fields with additional structure | publisher=Clarendon Press | location=Oxford | isbn=978-0-19-853991-9 | year=1996}}</ref>

== Disvolvo de la teorio ==
Oni povas difini hiperreelojn aŭ aksiome, aŭ per konstruo. La esenco de aksioma alveno estas aserti (1) ekziston de almenaŭ unu infinitezimo kaj (2) validon de principo de transdono. En la venonta subsekcio ni pli detale priskribos konstruan alvenon. Ĝi ebligas konstruon de la hiperreeloj per aroteoria objekto, nomata [[ultrafiltro]], sed oni ne povas konstrui la ultrafiltron mem. (Kanovei kaj Shelah<ref name=kanovei2003/> trovis metodon de eksplika konstruo, sed ĝi estas notende pli komplika.)

=== De Newton al Robinson ===
Kiam [[Isaac Newton|Newton]] kaj [[Gottfried Leibniz|Leibniz]] difinis [[diferencialo]]jn, ili utiligis infinitezimojn. Tiujn ankaŭ uzis pli postaj matematikistoj, kiel [[Leonhard Euler|Euler]] kaj [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]]. Tamen, ekde praaj tempoj la konceptoj de "nefinie grandaj" kaj "nefinie malgrandaj" valoroj estas suspektaj. Unu el notindaj kritikistoj estis [[George Berkeley]]. Kiam en la [[1800-aj jaroj]] la [[infinitezima kalkulo]] ekhavis fortan fundamenton per la [[(ε, δ)-difino de limeso]] far Cauchy, [[Karl Weierstrass|Weierstrass]] kaj aliaj, infinitezimoj iĝis plejparte forlasitaj.

Tamen en la 1960-aj [[Abraham Robinson]] montris, kiel nefinie grandaj kaj infinitezimaj povas esti rigore difinataj kaj uzataj en nenorma formo de [[analitiko]].<ref name=robinson>{{Citation | last1=Robinson | first1=Abraham | author1-link=Abraham Robinson | title=Non-standard analysis | publisher=[[Princeton University Press]] | isbn=978-0-691-04490-3 | year=1996}}. La klasika enkonduko en nenorma analitiko.</ref> Robinson disvolvis sian teorion ne konstrue, sed per uzo de [[teorio de modeloj]]. Tamen oni povas fari la saman uzante nur [[algebro]]n kaj [[topologio]]n kaj pruvante la principon de transdono el sekvoj de la difinoj. T. e., la hiperreeloj per si mem, krom ilia utileblo en analitiko, ne nepre estas rilataj al teorio de modeloj aŭ la unua-orda logiko. Nur historie, pro ilia malkovro per apliko de modelteoriaj teknikoj, oni rigardas ilin ligitaj kun tiuj branĉoj.

=== Konstruo per ultrapotencoj ===
Ni konstruos korpon de hiperreeloj per [[vico]]j de reeloj. Ni povas fakte adicii kaj multipliki la vicojn pokomponente, kiel, ekzemple:

:<math> (a_0, a_1, a_2, \ldots) + (b_0, b_1, b_2, \ldots) = (a_0 +b_0, a_1+b_1, a_2+b_2, \ldots) </math>

kaj analoge por multipliko.

Tiu ĉi operacio ebligas rigardi aron de tiaj vicoj kiel [[komuta ringo|komutan ringon]], kaj do kiel [[algebro]]n '''A'''. Ni nature enhavas na '''R''' en '''A''' per identigo de reelo ''r'' kun vico (''r'', ''r'', ''r'', ...), kaj tiu identigo konservas algebrajn ecojn de reeloj. Do, intuicia maniero reprezenti infinitezimon per vico, kiu venas al nulo. Inverto de tiu sekvenco, do, reprezentos infiniton. Kiel mi vidos ĉi-sube, tia alveno produktas malfacilecon, ĉar ni bezonas difini regulojn de komparo tiel, ke, malgraŭ ioma neevitebla arbitreco, ili estu mem-konsistaj kaj nekontraŭdiraj. Ekzemple, ni povas trovi du vicojn, kiuj malsamas je unuaj ''n'' elementoj, sed ĉiuj postaj estas egalaj. Klare, tiaj vicoj estu rigardataj kiel reprezentaĵoj de la sama hiperreelo. Krome, plimulto de tiaj vicoj estas senfine oscilaciaj, kaj ni bezonas manieron interpreti tiujn kiel <math>''r''+\epsilon</math>, kie ''r'' estas iu reelo kaj <math>\epsilon</math> estas iu aparta infinitezimo.

Do, komparo de la vicoj estas delikata afero. Ni povas, ekzemple, kompari la vicojn pokomponente:

:<math> (a_0, a_1, a_2, \ldots) \leq (b_0, b_1, b_2, \ldots) \iff  a_0 \leq b_0 \wedge a_1 \leq b_1 \wedge a_2 \leq b_2 \ldots </math>

sed tie ĉi ni renkontas problemon, ĉar eĉ se iuj elementoj de la unua vico estas malpli grandaj ol respondaj elementoj de la dua, estas neniu garantio, ke aliaj ne estos pli grandaj. Do, tia rilato estas nur [[parta ordo]]. Por ĉirkaŭiri tiun problemon, ni devas difini precize kiuj pozicioj gravas por komparo. Ĉar la vicoj estas nefiniaj, ni ne volas ke nur finia aro de elementoj estu grava. Plej logika elekto de indica aro estas difinebla per libera [[ultrafiltro]] ''U'' sur [[naturalo]]j. Tiuj estas la ultrafiltriloj kiuj ne enhavas iujn finiajn arojn. (La [[aksiomo de elekto]] garantias ekziston de multaj tiaj ''U'' kaj fakte ne gravas, kiun ni prenu. Malavantaĝo estas, tamen, ke ultrafiltroj ne estas eksplike konstrueblaj.) Ni pensas pri ''U'' kiel pri unu el eblaj aroj de "gravaj" elementoj por komparo: ni skribas (''a''<sub>0</sub>, ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ...) ≤ (''b''<sub>0</sub>, ''b''<sub>1</sub>, ''b''<sub>2</sub>, ...) se kaj nur se la aro de naturaloj { ''n'' : ''a''<sub>''n''</sub> ≤ ''b''<sub>''n''</sub> } estas en ''U''.

Tio ĉi estas [[Strikta malforta ordo#Tuteca antaŭordigo|tuteca antaŭordigo]] kaj ĝi iĝas [[tuteca ordo]] se ni konsentas ne distingi inter vicoj ''a'' kaj ''b'' se ''a''≤''b'' kaj ''b''≤''a''. Per tiu difinaro, la ordigita kampo de hiperreeloj '''*R''' estas konstruita. De algebra vidpunkto, ''U'' ebligas difini respondan [[idealo (matematiko)|maksimuman idealon]] '''I''' de komuta ringo '''A''' kaj poste difini na '''*R''' kiel '''A'''/'''I'''. Kiel kvociento de komuta ringo per maksimuma idealo, '''*R''' estas korpo. Oni ankaŭ povas skribi tion ĉi kiel '''A'''/''U'', rekte per ultrafiltro ''U''; ambaŭ variantoj estas ekvivalentaj.

La korpo '''A'''/''U'' estas [[ultraproduto|ultrapotenco]] de '''R'''. Ĉar la korpo enhavas na '''R''', ĝia [[povo de aro|povo]] estas almenaŭ ne malpli granda ol la kontinuo. Ĉar '''A''' havas povon

:<math>(2^{\aleph_0})^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0^2} =2^{\aleph_0},\,</math>

ĝi ankaŭ ne povas esti pli granda ol <math>2^{\aleph_0}</math>, kaj do havas la saman povon kiel '''R'''.

Ni havu dubon, ĉu, se ni elektus alian ultrafiltrilon ''V'', la korpo '''A'''/''V'' estus izomorfa al ordigita kampo '''A'''/''U''. Tiu ĉi demando estas fakte ekvivalenta al la [[hipotezo de kontinuo]]. En [[aroteorio de Zermelo–Fraenkel]] kun la hipoteza de kontinuo pruvita vera, ni povas pruvi, ke tiu ĉi korpo estas unika ĝis [[orda izomorfismo]], kaj se la hipotezo estus pruvita malvera ni povas pruvi ekziston de ne orde izomorfaj paroj de korpoj, kiuj estas kvanteble indicitaj ultrapotencoj de reeloj.

=== Intuicia alveno al ultrapoteca konstruo ===
Tie ĉi sekvas intuicia maniero kompreni la koncepton de hiperreela nombro. La alveno tie ĉi estas proksima al tiu en la libro far Robert Goldblatt.<ref>{{Citation | last1=Goldblatt | first1=Robert | title=Lectures on the hyperreals: an introduction to nonstandard analysis | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-98464-3 | year=1998}}</ref> Rememoru, ke la vicoj, kiuj konverĝas al nulo, estas iam nomataj nefinie malgrandaj. Tiuj ĉi estas preskaŭ rekte laŭdifine infinitezimoj - veraj infinitezimoj estas klasoj de vicoj, kiuj enhavas vicojn, konverĝantaj al nulo. Vidu ni, de kie venas tiuj klasoj. Unue ni konsideru vicojn de reeloj. Ili formas [[ringo (matematiko)|ringon]], t.e. oni povas adicii kaj multipliki ilin, kvankam ili ne estas ĉiam divideblaj je ne-nulo. La reeloj estas konstantaj vicoj, en kiuj ĉiuj elementoj egalas. La vico estas nula nur se ĝi estas idente nula, t.e. ''a''<sub>''n''</sub>&nbsp;=&nbsp;0 por ĉiuj ''n''.

En ringo, oni ne povas atingi na ''ab''&nbsp;=&nbsp;0 en kiu nek ''a''&nbsp;=&nbsp;0 nek ''b''&nbsp;=&nbsp;0. Do, se por du vicoj <math>a, b\quad</math> oni havas ''ab''&nbsp;=&nbsp;0, almenaŭ unu el ili estu proklamita nula. Mirinde, ekzistas kohera maniero fari tion. Rezulte, la vicoj kiuj malsamas je vico deklarita nula formas hiperreelan [[kampo (matematiko)|kampon]]. Ĝi enhavos infinitezimojn aldone al normaj reeloj, kaj samkiel la infinite grandajn nombrojn, kiuj estas multiplikaj [[inverso]]j de infinitezimoj (ilin reprezentas vicoj, kiuj konverĝas al senfineco). Ĉiu hiperreelo, kiu ne estas nefinie granda, estos nefinie proksima al iu reelo, t.e. estos reelo + infinitezimo.

Tiu ĉi konstruo estas paralela al konstruo de reeloj el [[racionalo]]j far [[Georg Cantor]]. Li komencis kun ringo de [[fundamenta vico|fundamentaj vicoj]] de racionaloj kaj deklaris ĉiujn vicojn, konverĝantajn al nulo, nulo. La rezulta aro estas aro de reeloj. Por daŭrigi la konstruon al hiperreeloj, ni konsideru la nulajn arojn de tiaj vicoj, t.e. <math>z(a)=\{i: a_i=0\}\quad</math>, kie <math>z(a)\quad</math> estas aro de indicoj <math>i\quad</math> por kiuj <math>a_i=0\quad</math>. Evidente, se <math>ab=0\quad</math>, do la kunigo de <math>z(a)\quad</math> kaj <math>z(b)\quad</math> estas ''N'' (aro de [[naturalo]]j). Do:
# Unu el la vicoj, kiuj malaperas en 2 aroj de la kunigo, estu proklamita nulo
# Se <math>a\quad</math> estas proklamita nulo, <math>ab\quad</math> ankaŭ estas nulo, sendepende de kio ajn estas <math>b\quad</math>.
# Se ambaŭ <math>a\quad</math> kaj <math>b\quad</math> estas proklamitaj nulaj, do ankaŭ <math>a^2+b^2\quad</math> estu nulo.

Nun ni bezonas apartigi na unu el multo de eblaj ''U'' da subaroj ''X'' de ''N'' kaj proklami <math>a=0\quad</math> se kaj nur se <math>z(a)\quad</math> apartenas al ''U''. El tiuj kondiĉoj oni povas vidi, ke:
# El du kunigitaj aroj almenaŭ unu apartenu al ''U''
# Iu aro, kiu enhavas subaron apartenantan al ''U'', ankaŭ mem apartenas al ''U''.
# [[Komunaĵo]] de aroj, apartenantaj al ''U'', apartenas al ''U''.
# La [[malplena aro]] ne apartenu al ''U'', ĉar se ĝi apartenus, iu ajn aro ankaŭ apartenus, ĉar ĉiu aro enhavas malplenan aron, kaj do ĉio iĝus nulo.

Ĉiu familio de aroj, kiuj akordas kun kondiĉoj (2)-(4), nomiĝas [[filtro (matematiko)|filtro]]. Ekzemple, aro de vastigaĵoj de finiaj aroj nomiĝas [[filtro de Fréchet]] (ĝi uziĝas en teorio de [[limeso]]j.). Se (1) estas ankaŭ vera, la filtro nomiĝas [[ultrafiltro]] (ĉar oni ne povas aldoni pliajn arojn al ĝi sen rompi ĝian "filtrecon"). Oni nur povas eksplike diri pli konata ultrafiltro kiel pri ultrafiltro, kiu enhavas iun antaŭdifinitan elementon (ekzemple, nombron 10). Tiaj ultrafiltroj nomiĝas triviaj. Oni asertas, ke iu ajn filtro povas esti vastigata ĝis ultrafiltro, sed la pruvo bezonas [[aksiomo de elekto|aksiomon de elekto]]. Ekzisto de ne-triviaj ultrafiltroj ([[ultrafiltra lemo]]) estas pli "malforta" ol aksiomo de elekto, kaj do estas pli oportune enkonduki ĝin kiel apartan aksiomon.

Se ni uzos ne-trivian ultrafiltron (kiu estas vastigaĵo de la Fréchet-filtro) en nia konstruo, rezulto estas aro de hiperreeloj. La infinitezimoj povas esti reprezentitaj per ne-malaperantaj vicoj, kiuj konverĝas al nulo relative al Fréchet-filtro.

Se <math>f\quad</math> estas reela funkcio de reela varieblo <math>x\quad</math>, do <math>f\quad</math> nature vastiĝas al hiperreela funkcio de hiperreela varieblo per komponado:
:<math>f(\{x_n\})=\{f(x_n)\}\,</math>
kie <math>\{ \dots\}</math> signifas "klaso de elvivalenteco de <math>\dots</math> rilate al nia ultrafiltro", kie du vicoj estas en la sama klaso se kaj nur se la nula aro de ilia diferenco apartenas al nia ultrafiltro.

Ĉiuj aritmetikaj esprimoj kaj furmuloj havas sencon por hiperreeloj kaj veras se ili estas veraj por la reeloj. Oni povas pruvi ke ĉiu ajn finia (t.e. tia, ke <math>|x| < a\quad</math> por iu reela <math>a\quad</math>) hiperreelo <math>x\quad</math> havos formon <math>y+d\quad</math> kie <math>y\quad</math> estas norma (iam nomata "standarda") reelo kaj <math>d\quad</math> estas infinitezimo.

Tio ĉi estas paralela al pruvo de [[teoremo de Bolzano–Weierstrass]], kiu asertas, ke oni povas elekti konverĝan subvicon el ĉiu limigita vico per dusekcio<ref>{{Citaĵo el la reto |url=http://www.gap-system.org/~john/analysis/Lectures/L9.html |titolo=Arkivita kopio |alirdato=2010-01-02 |arkivurl=https://web.archive.org/web/20090109133942/http://www.gap-system.org/~john/analysis/Lectures/L9.html |arkivdato=2009-01-09 }}</ref>. La eco (1) de la hiperreeloj estas ree nepra.

Nun oni povas vidi, ke se <math>f\quad</math> estas kontinua, tio signifas ke <math>f(a)-f(x)\quad</math> estas nefinia malgranda kiam tia estas <math>x-a\quad</math>, kaj se <math>f\quad</math> estas diferencialebla, tio signifas ke
:<math>(f(x)-f(a))/(x-a)-f'(a)\quad</math>
estas nefinie malgranda kiam tia estas <math>x-a\quad</math>. Notinde, se <math>a\quad</math> estas hiperreela, la derivaĵo estas aŭtomate kontinua, ĉar por ke <math>f\quad</math> estu diferencialebla ĉe <math>x\quad</math>,
:<math>f'(x)-(f(x)-f(a))/(x-a)=f'(x)-(f(a)-f(x))/(a-x)\quad</math>
devas esti infinitezima kiam tia estas <math>x-a\quad</math>. Do, <math>f'(x)-f'(a)\quad</math> ankaŭ estu infinitezima kiam tia estas <math>x-a\quad</math>.

== Ecoj de infinitoj kaj infinitezimoj ==
La finiaj elementoj '''F''' de '''*R''' formas [[loka ringo|lokan ringon]] kaj estas, fakte, [[valoriga ringo]] kun unika maksimuma idealo '''S''', kiu estas aro de infinitezimoj; la kvociento '''F'''/'''S''' estas izomorfa al la reeloj. Do, ni havas [[ringa izomorfismo|izomorfan]] bildigon st(''x'') de '''F''' al '''R''', kies [[kerno (matematiko)|kerno]] konsistas je infinitezimoj kaj kiu sendas ĉiun elementon ''x'' de '''F''' al unika reela nombro, kiu malsamas de ''x'' je '''S''' - do, je infinitezimo. Alie dirite, ĉiu ''finia'' nenorma reelo estas "tre proksima" al unika norma reelo, en tiu senco ke se ''x'' estas finia nenorma reelo, ekzistas unu kaj kaj nur unu norma reelo st(''x''), tia, ke ''x''&nbsp;–&nbsp;st(''x'') estas infinitezima. Tiu ĉi nombro st(''x'') nomiĝas [[standarda parto|standarda (flaga) parto]] de ''x'', koncepte la "plej proksima reelo" al ''x''. Tiu ĉi operacio estas ordo-konservanta izmorfismo kaj kondutas bone ambaŭ algebre kaj ordoteorie. Kvankam ĝi estas ordo-konservanta, ĝi ne estas izotona, t.e. <math> x \le y</math> implikas ke <math>\operatorname{st}(x) \le \operatorname{st}(y)</math>, sed <math>x < y </math> ne nepre implikas ke <math>\operatorname{st}(x) < \operatorname{st}(y)</math>.

* Se ambaŭ ''x'' kaj ''y'' estas finiaj,
::<math> \operatorname{st}(x + y) = \operatorname{st}(x) + \operatorname{st}(y)  </math>
:: <math> \operatorname{st}(x y) = \operatorname{st}(x)  \operatorname{st}(y)  </math>
* Se ''x'' estas nek infinita nek infinitezima,
:: <math> \operatorname{st}(1/x)  = 1 /  \operatorname{st}(x)  </math>
* ''x'' estas reela se kaj nur se
:: <math> \operatorname{st}(x) = x </math>
La mapo de standarda parto estas [[kontinua funkcio (topologio)|topologie kontinua]] rilate al orda topologio sur finiaj hiperreeloj. Fakte, ĝi estas [[loke konstanta funkcio]].

== Hiperreelaj korpoj ==
Supozu ni, ke ''X'' estas [[spaco de Tiĥonov]], ankaŭ nomata T<sub>3.5</sub>-spaco, kaj C(''X'') estas algebro de kontinual reel-valoraj funkcioj en ''X''. Supozu, ke M estas [[maksimuma idealo]] en C(''X''). do, la [[faktora ringo]] A = C(''X'')/M estas tute ordigita kampo F, kiu enhavos reelojn. Se F rigore enhavas na '''R''' do M estas tiel nomata '''hiperreela idealo''' kaj F estas '''hiperreela korpo'''. Notu, ke neniu presumo estas, ke povo de F nepre estu pli granda ol '''R'''. Fakte, ili povas estis sampovaj.

Grava speciala okazo estas se topologio sur ''X'' estas [[diskreta spaco|diskreta]]. En tiu okazo ''X'' povas esti indentigita per [[kardinala nombro]] ''κ'' kaj C(''X'') per reela algebro <math>\mathbb{R}^\kappa</math> de funkcioj de ''κ'' al '''R'''. La hiperreelaj korpoj, konstruataj en tiu ĉi okazo, nomiĝas ''ultrapotencoj'' de '''R''' kaj estas identaj al ultrapotencoj, konstruataj per [[ultrafiltro]]j en [[teorio de modeloj]].

== Referencoj ==
{{Referencoj}}
{{Metaŝablono en artikolo|Citation}}
{{Projektoj}}

[[Kategorio:Kampo-teorio (matematiko)]]
[[Kategorio:Reela fermita korpo]]
[[Kategorio:Senfineco]]