Hiperreela nombro

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

Sistemo de hiperreelaj nombroj estas rigora matematika maniero pritrakti infinitojn kaj infinitezimojn. Tiuj kvantoj estis vaste uzataj en matematiko kelkajn jarcentojn antaŭ enkonduko de la hiperreeloj, sed ilia uzo ĉiam estis pli intuicia ol matematike rigora. Pro disvolvoj de formala logiko dum 19-a kaj 20-a jarcentoj, oni povis difini kaj pritrakti ilin pli formale kaj rigore.

La aro de hiperreeloj (foje ankaŭ nomataj nenormaj reeloj) *R estas korpa vastigaĵo de la aro de reeloj R, kiu enhavas nombrojn pli grandajn ol iu difinita reelo. Do, aro de hiperreeloj enhavas nombron pli grandan ol io ajn de la formo

1 + 1 + \cdots + 1. \,

Tiu nombro estas la infinito, kaj ĝia inverto estas infinitezimo. La aro de hiperreeloj *R estas kunigo de aro R, aro de infinitoj kaj aro de infinitezimoj. Ĝi kongruas kun principo de transdono, laŭ kiu ĉiuj asertoj de unua-orda logiko, kiuj estas veraj por iu aro, ankaŭ veras por ĉiuj vastigaĵoj de la aro. Do, bazaj algebraj aksiomoj pri reeloj ankaŭ veras pri hiperreloj - ekzemple, komuteco, asocieco, distribueco ktp.

Ekde unuaj logikistoj de Antikva Grekio oni disputis, ĉu estas logike ĝuste uzi senfinajn valorojn en argumentoj. Por eviti tian dubon, ekzemple, Eŭklido anstataŭigis tiajn pruvojn per aliaj teknikoj kiel metodo de elĉerpo[1] En la 1960-aj jaroj Abraham Robinson pruvis, ke hiperreeloj estas logike koheraj se kaj nur se tiaj estas la reeloj. Tio forigis dubojn kaj timojn pri uzebleco de hiperreeloj, se oni pritraktas ilin laŭ logikaj reguloj, kiujn Robinson difinis.

Apliko de la hiperreeloj kaj de principo de transdono en analitiko donis starton de nova branĉo de matematika teorio, la hiperreela analitiko. Multaj matematikistoj trovas ĝin pli logika, intuicia kaj komprenebla ol klasika reela analitiko.

La principo de transdono[redakti | redakti fonton]

La baza ideo pri hiperreeloj estas vastigi sistemon de reeloj R por formi sistemon *R, kiu enhavu reelojn, infinitojn kaj infinitezimojn, sed sen ŝanĝo de bazaj aksiomoj de algebro. Ĉiu aserto, kiu estas vera por ĉiu reelo, ankaŭ estu vera por hiperreeloj. Ekzemple, aksiomo "por ĉiu x, x + 0 = x" ankaŭ apliku, se x estas hiperreelo. Same aplikas aksiomoj, kiuj estas veraj por kelkaj reeloj, ekzemple "por ĉiuj reeloj x kaj y, xy = yx." La ebleco transdoni tiajn ecojn de reeloj al hiperreeloj nomiĝas principo de transdono.

Tamen, asertoj de formo "por iu aro de nombroj S..." ne nepre transdoniĝas. La asertoj, kiuj baziĝas sur kvantigado super aroj (aŭ pli altnivelaj konstruoj super aroj, kiel funkcioj) ĝenerale malsamas inter reeloj kaj hiperreeloj. Tiaj logikaj asertoj, kiuj ne bezonas kvantigadon super aro, nomiĝas asertoj de unua-orda logiko.

Ekzemple, en sistemo de hiperreeloj *R ekzistas elemento w, por kiu

 1<w, \quad 1+1<w, \quad 1+1+1<w, \quad 1+1+1+1<w, .\ldots

por iu ajn nombro de 1-oj. Tamen, en R ne ekzistas tia elemento. Tio ĉi ne kontraŭdiras la principon de transdono, ĉar (ne)ekzisto de tia w ne povas esti esprimata per asertoj de unua-orda logiko.

Uzo en analitiko[redakti | redakti fonton]

Kalkulo kun algebraj funkcioj[redakti | redakti fonton]

Neformalaj skribmanieroj por nereelaj kvantoj uzeblis en klasika infinitezima kalkulo en du kuntekstoj: kiel infinitezimoj kiel dx kaj kiel simbolo ∞, uzata por infinito en limesoj, ekzemple, dum analizo de nepropra integralo.

Kiel ekzemplo de principo de transdono, aserto ke por ĉiu nenula reelo x, 2xx estas vera, kaj do ĝi estu vera ankaŭ por hiperreeloj. Do, oni ne povas uzi ĝeneralan simbolon, kiel ∞, por ĉiuj infinitoj en hiperreela sistemo, ĉar infinitoj kaj infinitezimoj malsamas je grando.

Same, la kvazaŭ-formulo 1/0 = ∞ iam okaze uzata en klasika kalkulo, estas nevalida, ĉar divizio je nulo ne estas difinita por reeloj kaj do ankaŭ ne estu difinita en sistemo de hiperreeloj. Pli rigora kaj ĝusta aserto estu ke se ε estas infinitezimo, do 1/ε estas infinito.

Por ĉiu hiperreela nombro x, oni difinas ĝian standardan parton, st x, kiel la unika reelo, kiu malsamas de ĝi nur je infinitezimo. Do, ekzemple, la derivaĵo de funkcio y(x) estu difinita ne kiel dy/dx sed kiel standarda parto de dy/dx.

Ekzemple, por derivaĵo f'(x) de funkcio f(x) = x2, ni asumas dx estas infinitezimo. Do,

f'(x)\, =\operatorname{st}\left(\frac{f(x + \mathrm dx) - f(x)}{\mathrm dx}\right)
=\operatorname{st}\left(\frac{x^2 + 2x \cdot \mathrm dx +  \mathrm dx^2 -x^2}{\mathrm dx}\right)
=\operatorname{st}\left(\frac{2x \cdot \mathrm dx +  \mathrm dx^2}{\mathrm dx}\right)
=\operatorname{st}\left(2x + \mathrm dx\right)
=2x\,

Transcendaj funkcioj[redakti | redakti fonton]

Ĉar transcendaj funkcioj ne estas defineblaj per finia nombro de fundamentaj algebraj operacioj, la principo de transdono rekte ne aplikeblas al ili. Tamen oni povas konsideri funkciojn super hiperreeloj kiel nefiniajn vicojn de reeloj, kiuj povas konverĝi aŭ ne konverĝi al iuj limesoj. Do, igas nature difni transcendajn funkciojn per popunkta apliko de la funkcio al ĉiuj membroj de la vico. Tio ebligas vastigi aplikeblon de transdona principo, por ke ĝi kovru vastan klason de funkcioj, rilatoj kaj aroj. Ekzemple, oni povas difini sistemon de hiperentjeroj laŭ difino de entjeroj, malgraŭ ke la principo de transdono per si mem ne aplikas al asertoj pri entjeroj.

Integraligo[redakti | redakti fonton]

Unu maniero difini difinitan integralon en sistemo de hiperreeloj estas proklami ĝin sumo sur latiso aa + dxa + 2dx, ... a + ndx, kie dx estas infinitezimo, n estas nefinia hiperentjero, kaj soba kaj supra limoj de integraligo estas a kaj b = a + n dx.[2]

Ecoj de la aro[redakti | redakti fonton]

La aro de hiperreeloj *R estas ordigita korpo, kiu enhavas reelojn kiel subkorpo. Malsimile al reeloj, la hiperreeloj ne havas difineblan metrikan spacon, sed, pro sia ordigiteco, havas ordan topologion.

La uzo de vorteto la kiam ni parolas pri "la (aro de) hiperreeloj" estas ne tute ĝusta, ĉar ne estas iu evidentaĵo, ke la korpo de hiperreeloj estas unika. Tamen, en la verko de 2003 fare de Vladimir Kanovei kaj Saharon Shelah[3] pruvas, ke ekzistas difinebla, ω-sata rudimenta enigo de reeloj, kiu do povas esti la aro de hiperreeloj.

La kondiĉoj por agnoski iun korpon hiperreela estas pli rigoraj ol por reela fermita korpo, kiu enhavu na R. Ĝi estas ankaŭ pli rigora ol por superreela korpo, kiun difinis W.H.Woodin kaj H.G.Dales[4]

Disvolvo de la teorio[redakti | redakti fonton]

Oni povas difini hiperreelojn aŭ aksiome, aŭ per konstruo. La esenco de aksioma alveno estas aserti (1) ekziston de almenaŭ unu infinitezimo kaj (2) validon de principo de transdono. En la venonta subsekcio ni pli detale priskribos konstruan alvenon. Ĝi ebligas konstruon de la hiperreeloj per aroteoria objekto, nomata ultrafiltro, sed oni ne povas konstrui la ultrafiltron mem. (Kanovei kaj Shelah[3] trovis metodon de eksplika konstruo, sed ĝi estas notende pli komplika.)

De Newton al Robinson[redakti | redakti fonton]

Kiam Newton kaj Leibniz difinis diferencialojn, ili utiligis infinitezimojn. Tiujn ankaŭ uzis pli postaj matematikistoj, kiel Euler kaj Cauchy. Tamen, ekde praaj tempoj la konceptoj de "nefinie grandaj" kaj "nefinie malgrandaj" valoroj estas suspektaj. Unu el notindaj kritikistoj estis George Berkeley. Kiam en la 1800-aj jaroj la infinitezima kalkulo ekhavis fortan fundamenton per la (ε, δ)-difino de limeso far Cauchy, Weierstrass kaj aliaj, infinitezimoj iĝis plejparte forlasitaj.

Tamen en la 1960-aj Abraham Robinson montris, kiel nefinie grandaj kaj infinitezimaj povas esti rigore difinataj kaj uzataj en nenorma formo de analitiko.[5] Robinson disvolvis sian teorion ne konstrue, sed per uzo de teorio de modeloj. Tamen oni povas fari la saman uzante nur algebron kaj topologion kaj pruvante la principon de transdono el sekvoj de la difinoj. T. e., la hiperreeloj per si mem, krom ilia utileblo en analitiko, ne nepre estas rilataj al teorio de modeloj aŭ la unua-orda logiko. Nur historie, pro ilia malkovro per apliko de modelteoriaj teknikoj, oni rigardas ilin ligitaj kun tiuj branĉoj.

Konstruo per ultrapotencoj[redakti | redakti fonton]

Ni konstruos korpon de hiperreeloj per vicoj de reeloj. Ni povas fakte adicii kaj multipliki la vicojn pokomponente, kiel, ekzemple:

 (a_0, a_1, a_2, \ldots) + (b_0, b_1, b_2, \ldots) = (a_0 +b_0, a_1+b_1, a_2+b_2, \ldots)

kaj analoge por multipliko.

Tiu ĉi operacio ebligas rigardi aron de tiaj vicoj kiel komutan ringon, kaj do kiel algebron A. Ni nature enhavas na R en A per identigo de reelo r kun vico (r, r, r, ...), kaj tiu identigo konservas algebrajn ecojn de reeloj. Do, intuicia maniero reprezenti infinitezimon per vico, kiu venas al nulo. Inverto de tiu sekvenco, do, reprezentos infiniton. Kiel mi vidos ĉi-sube, tia alveno produktas malfacilecon, ĉar ni bezonas difini regulojn de komparo tiel, ke, malgraŭ ioma neevitebla arbitreco, ili estu mem-kosistaj kaj nekontraŭdiraj. Ekzemple, ni povas trovi du vicojn, kiuj malsamas je unuaj n elementoj, sed ĉiuj postaj estas egalaj. Klare, tiaj vicoj estu rigardataj kiel reprezentaĵoj de la sama hiperreelo. Krome, plimulto de tiaj vicoj estas senfine oscilaciaj, kaj ni bezonas manieron intrepreti tiujn kiel ''r''+\epsilon, kie r estas iu reelo kaj \epsilon estas iu aparta infinitezimo.

Do, komparo de la vicoj estas delikata afero. Ni povas, ekzemple, kompari la vicojn pokomponente:

 (a_0, a_1, a_2, \ldots) \leq (b_0, b_1, b_2, \ldots) \iff  a_0 \leq b_0 \wedge a_1 \leq b_1 \wedge a_2 \leq b_2 \ldots

sed tie ĉi ni renkontas problemon, ĉar eĉ se iuj elementoj de la unua vico estas malpli grandaj ol respondaj elementoj de la dua, estas neniu garantio, ke aliaj ne estos pli grandaj. Do, tia rilato estas nur partorda. Por ĉirkaŭiri tiun problemon, ni devas difini precize kiuj pozicioj gravas por komparo. Ĉar la vicoj estas nefiniaj, ni ne volas ke nur finia aro de elementoj estu grava. Plej logika elekto de indica aro estas difinebla per libera ultrafiltro U sur naturaloj. Tiuj estas la ultrafiltriloj kiuj ne enhavas iujn finiajn arojn. (La aksiomo de elekto garantias ekziston de multaj tiaj U kaj fakte ne gravas, kiun ni prenu. Malavantaĝo estas, tamen, ke ultrafiltroj ne estas eksplike konstrueblaj.) Ni pensas pri U kiel pri unu el eblaj aroj de "gravaj" elementoj por komparo: ni skribas (a0, a1, a2, ...) ≤ (b0, b1, b2, ...) se kaj nur se la aro de naturaloj { n : anbn } estas en U.

Tio ĉi estas tuteca antaŭordigo kaj ĝi iĝas tuteca ordo se ni konsentas ne distingi inter vicoj a kaj b se ab kaj ba. Per tiu difinaro, la ordigita korpo de hiperreeloj *R estas konstruita. De algebra vidpunkto, U ebligas difini respondan maksimuman idealon I de komuta ringo A kaj poste difini na *R kiel A/I. Kiel kvociento de komuta ringo per maksimuma idealo, *R estas korpo. Oni ankaŭ povas skribi tion ĉi kiel A/U, rekte per ultrafiltro U; ambaŭ variantoj estas ekvivalentaj.

La korpo A/U estas ultrapotenco de R. Ĉar la korpo enhavas na R, ĝia povo estas almenaŭ ne malpli granda ol la kontinuo. Ĉar A havas povon

(2^{\aleph_0})^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0^2} =2^{\aleph_0},\,

ĝi ankaŭ ne povas esti pli granda ol 2^{\aleph_0}, kaj do havas la saman povon kiel R.

Ni havu dubon, ĉu, se ni elektus alian ultrafiltrilon V, la korpo A/V estus izomorfa al ordigita korpo A/U. Tiu ĉi demando estas fakte ekvivalenta al la hipotezo de kontinuo. En aroteorio de Zermelo–Fraenkel kun la hipoteza de kontinuo pruvita vera, ni povas pruvi, ke tiu ĉi korpo estas unika ĝis orda izomorfismo, kaj se la hipotezo estus pruvita malvera ni povas pruvi ekziston de ne orde izomorfaj paroj de korpoj, kiuj estas kvanteble indicitaj ultrapotencoj de reeloj.

Intuicia alveno al ultrapoteca konstruo[redakti | redakti fonton]

Tie ĉi sekvas intuicia maniero kompreni la koncepton de hiperreela nombro. La alveno tie ĉi estas proksima al tiu en la libro far Robert Goldblatt.[6] Rememoru, ke la vicoj, kiuj konverĝas al nulo, estas iam nomataj nefinie malgrandaj. Tiuj ĉi estas preskaŭ rekte laŭdifine infinitezimoj - veraj infinitezimoj estas klasoj de vicoj, kiuj enhavas vicojn, konverĝantaj al nulo. Vidu ni, de kie venas tiuj klasoj. Unue ni konsideru vicojn de reeloj. Ili formas ringon, t.e. oni povas adicii kaj multipliki ilin, kvankam ili ne estas ĉiam divideblaj je ne-nulo. La reeloj estas konstantaj vicoj, en kiuj ĉiuj elementoj egalas. La vico estas nula nur se ĝi estas idente nula, t.e. an = 0 por ĉiuj n.

En ringo, oni ne povas atingi na ab = 0 en kiu nek a = 0 nek b = 0. Do, se por du vicoj a, b\quad oni havas ab = 0, almenaŭ unu el ili estu proklamita nula. Mirinde, ekzistas kohera maniero fari tion. Rezulte, la vicoj kiuj malsamas je vico deklarita nula formas hiperreelan korpon. Ĝi enhavos infinitezimojn aldone al normaj reeloj, kaj samkiel la infinite grandajn nombrojn, kiuj estas multiplikaj inversoj de infinitezimoj (ilin reprezentas vicoj, kiuj konverĝas al senfineco). Ĉiu hiperreelo, kiu ne estas nefinie granda, estos nefinie proksima al iu reelo, t.e. estos reelo + infinitezimo.

Tiu ĉi konstruo estas paralela al konstruo de reeloj el racionaloj far Georg Cantor. Li komencis kun ringo de fundamentaj vicoj de racionaloj kaj deklaris ĉiujn vicojn, konverĝantajn al nulo, nulo. La rezulta aro estas aro de reeloj. Por daŭrigi la konstruon al hiperreeloj, ni kosideru la nulajn arojn de tiaj vicoj, t.e. z(a)=\{i: a_i=0\}\quad, kie z(a)\quad estas aro de indicoj i\quad por kiuj a_i=0\quad. Evidente, se ab=0\quad, do la kunigo de z(a)\quad kaj z(b)\quad estas N (aro de naturaloj). Do:

  1. Unu el la vicoj, kiuj malaperas en 2 aroj de la kunigo, estu proklamita nulo
  2. Se a\quad estas proklamita nulo, ab\quad ankaŭ estas nulo, sendepende de kio ajn estas b\quad.
  3. Se ambaŭ a\quad kaj b\quad estas proklamitaj nulaj, do ankaŭ a^2+b^2\quad estu nulo.

Nun ni bezonas apartigi na unu el multo de eblaj U da subaroj X de N kaj proklami a=0\quad se kaj nur se z(a)\quad apartenas al U. El tiuj kondiĉoj oni povas vidi, ke:

  1. El du kunigitaj aroj almenaŭ unu apartenu al U
  2. Iu aro, kiu enhavas subaron apartenantan al U, ankaŭ mem apartenas al U.
  3. Komunaĵo de aroj, apartenantaj al U, apartenas al U.
  4. La malplena aro ne apartenu al U, ĉar se ĝi apartenus, iu ajn aro ankaŭ apartenus, ĉar ĉiu aro enhavas malplenan aron, kaj do ĉio iĝus nulo.

Ĉiu familio de aroj, kiuj akordas kun kondiĉoj (2)-(4), nomiĝas filtro. Ekzemple, aro de vastigaĵoj de finiaj aroj nomiĝas filtro de Fréchet (ĝi uziĝas en teorio de limesoj.). Se (1) estas ankaŭ vera, la filtro nomiĝas ultrafiltro (ĉar oni ne povas aldoni pliajn arojn al ĝi sen rompi ĝian "filtrecon"). Oni nur povas eksplike diri pli konata ultrafiltro kiel pri ultrafiltro, kiu enhavas iun antaŭdifinitan elementon (ekzemple, nombron 10). Tiaj ultrafiltroj nomiĝas triviaj. Oni asertas, ke iu ajn filtro povas esti vastigata ĝis ultrafiltro, sed la pruvo bezonas aksiomon de elekto. Ekzisto de ne-triviaj ultrafiltroj (ultrafiltra lemo) estas pli "malforta" ol aksiomo de elekto, kaj do estas pli oportune enkonduki ĝin kiel apartan aksiomon.

Se ni uzos ne-trivian ultrafiltron (kiu estas vastigaĵo de la Fréchet-filtro) en nia konstruo, rezulto estas aro de hiperreeloj. La infinitezimoj povas esti reprezentitaj per ne-malaperantaj vicoj, kiuj konverĝas al nulo relative al Fréchet-filtro.

Se f\quad estas reela funkcio de reela varieblo x\quad, do f\quad nature vastiĝas al hiperreela funkcio de hiperreela varieblo per komponado:

f(\{x_n\})=\{f(x_n)\}\,

kie \{ \dots\} signifas "klaso de elvivalenteco de \dots rilate al nia ultrafiltro", kie du vicoj estas en la sama klaso se kaj nur se la nula aro de ilia diferenco apartenas al nia ultrafiltro.

Ĉiuj aritmetikaj esprimoj kaj furmuloj havas sencon por hiperreeloj kaj veras se ili estas veraj por la reeloj. Oni povas pruvi ke ĉiu ajn finia (t.e. tia, ke |x| < a\quad por iu reela a\quad) hiperreelo x\quad havos formon y+d\quad kie y\quad estas norma (iam nomata "standarda") reelo kaj d\quad estas infinitezimo.

Tio ĉi estas paralela al pruvo de teoremo de Bolzano–Weierstrass, kiu asertas, ke oni povas elekti konverĝan subvicon el ĉiu limigita vico per dusekcio[7]. La eco (1) de la hiperreeloj estas ree nepra.

Nun oni povas vidi, ke se f\quad estas kontinua, tio signifas ke f(a)-f(x)\quad estas nefinia malgranda kiam tia estas x-a\quad, kaj se f\quad estas diferencialebla, tio signifas ke

(f(x)-f(a))/(x-a)-f'(a)\quad

estas nefinie malgranda kiam tia estas x-a\quad. Notinde, se a\quad estas hiperreela, la derivaĵo estas aŭtomate kontinua, ĉar por ke f\quad estu diferencialebla ĉe x\quad,

f'(x)-(f(x)-f(a))/(x-a)=f'(x)-(f(a)-f(x))/(a-x)\quad

devas esti infinitezima kiam tia estas x-a\quad. Do, f'(x)-f'(a)\quad ankaŭ estu infinitezima kiam tia estas x-a\quad.

Ecoj de infinitoj kaj infinitezimoj[redakti | redakti fonton]

La finiaj elementoj F de *R formas lokan ringon kaj estas, fakte, valoriga ringo kun unika maksimuma idealo S, kiu estas aro de infinitezimoj; la kvociento F/S estas izomorfa al la reeloj. Do, ni havas izomorfan bildigon st(x) de F al R, kies kerno konsistas je infinitezimoj kaj kiu sendas ĉiun elementon x de F al unika reela nombro, kiu malsamas de x je S - do, je infinitezimo. Alie dirite, ĉiu finia nenorma reelo estas "tre proksima" al unika norma reelo, en tiu senco ke se x estas finia nenorma reelo, ekzistas unu kaj kaj nur unu norma reelo st(x), tia, ke x – st(x) estas infinitezima. Tiu ĉi nombro st(x) nomiĝas standarda (flaga) parto de x, koncepte la "plej proksima reelo" al x. Tiu ĉi operacio estas ordo-konservanta izmorfismo kaj kondutas bone ambaŭ algebre kaj ordoteorie. Kvankam ĝi estas ordo-konservanta, ĝi ne estas izotona, t.e.  x \le y implikas ke \operatorname{st}(x) \le \operatorname{st}(y), sed x < y ne nepre implikas ke \operatorname{st}(x) < \operatorname{st}(y).

  • Se ambaŭ x kaj y estas finiaj,
 \operatorname{st}(x + y) = \operatorname{st}(x) + \operatorname{st}(y)
 \operatorname{st}(x y) = \operatorname{st}(x)  \operatorname{st}(y)
  • Se x estas nek infinita nek infinitezima,
 \operatorname{st}(1/x)  = 1 /  \operatorname{st}(x)
  • x estas reela se kaj nur se
 \operatorname{st}(x) = x

La mapo de standarda parto estas topologie kontinua rilate al orda topologio sur finiaj hiperreeloj. Fakte, ĝi estas loke konstanta funkcio.

Hiperreelaj korpoj[redakti | redakti fonton]

Supozu ni, ke X estas spaco de Tiĥonov, ankaŭ nomata T3.5-spaco, kaj C(X) estas algebro de kontinual reel-valoraj funkcioj en X. Suppozu, ke M estas maksimuma idealo en C(X). do, la faktora ringo A = C(X)/M estas tute ordigita korpo F, kiu enhavos reelojn. Se F rigore enhavas na R do M estas tiel nomata hiperreela idealo kaj F estas hiperreela korpo. Notu, ke neniu presumo estas, ke povo de F nepre estu pli granda ol R. Fakte, ili povas estis sampovaj.

Grava speciala okazo estas se topologio sur X estas diskreta. En tiu okazo X povas esti indentigita per kardinala nombro κ kaj C(X) per reela algebro \Bbb{R}^\kappa de funkcioj de κ al R. La hiperreelaj korpoj, konstruataj en tiu ĉi okazo, nomiĝas ultrapotencoj de R kaj estas identaj al ultrapotencoj, konstruataj per ultrafiltroj en teorio de modeloj.

Referencoj[redakti | redakti fonton]

  1. Ball, p. 31
  2. Keisler
  3. 3,0 3,1 Kanovei, Vladimir; Shelah, Saharon (2004), "A definable nonstandard model of the reals", Journal of Symbolic Logic 69: 159–164 
  4. Woodin, W. H.; Dales, H. G. (1996), Super-real fields: totally ordered fields with additional structure, Oxford: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853991-9 
  5. Robinson, Abraham (1996), Non-standard analysis, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04490-3 . La klasika enkonduko en nenorma analitiko.
  6. Goldblatt, Robert (1998), Lectures on the hyperreals: an introduction to nonstandard analysis, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98464-3 
  7. http://www.gap-system.org/~john/analysis/Lectures/L9.html