Analitiko

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

Analitiko, matematika analizo aŭ simple analizo (el la greka: ανάλυσις análysis, solvado, greke: ἀναλύειν analýein, solvi) estas branĉo de matematiko, kiu temas pri reelaj kaj kompleksaj nombroj kaj iliaj funkcioj. Ĝi komenciĝis per la rigorigo de la infinitezima kalkulo kaj studas konceptojn kiel ekzemple kontinuecon, derivaĵojn kaj integralojn.

Historio[redakti | redakti fonton]

En la antikva epoko kaj en la mezepoko grekaj kaj hindaj matematikistoj interesiĝis pri infinitezima kalkulo kaj atingis promesplenajn sed fragmentajn rezultojn. Pro historiaj kialoj liaj tujaj posteuloj ne povis uzi tiujn rezultojn kaj daŭrigi la malkovron.

Moderna analitiko estis fondita en la 17-a jarcento per infinitezima kalkulo fare de Isaac Newton kaj Gottfried Wilhelm Leibniz. En la 17-a jarcento la temoj de analitiko, kiel infinitezima kalkulado, diferencialaj ekvacioj, la analitiko de Fourier, kaj tiel plu evoluiĝis ĉefe el praktikaj laboroj. Teknikoj de infinitezima kalkulo etis uzataj sukcese por alproksimiĝi problemojn.

Dum la tuta 18-a jarcento la difino de funkcioj estis debata temo inter matematikistoj. En la 19-a jarcento Cauchy estis la unua, kiu donis logikan fondaĵon al infinitezima kalkulado enkondukinte la koncepton de la koŝia vico. Li komencis ankaŭ la formalan teorion de kompleksa analitiko. Poisson, Liouville, Fourier kaj aliaj studis ekvaciojn kaj harmonian analitikon.

Meze de la 19-a jarento Riemann enkondukis sian teorion pri integrado, la integralon de Riemann. Dum la tria triono de la 19-a jarcento, analitiko aritmetikiĝas fare de Karl Weierstrass, kiu opiniis ke geometria rezonado estis misgvida. Li enkondukis ankaŭ la difinon de ε-δ de limeso. Sekve matematikistoj ekzorgis pri la fakto, ke ili supozis senpruve la ekziston de kontinua vico de realaj nombroj.

Konceptoj de analitiko[redakti | redakti fonton]

Aroteorio[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Aroteorio.

Aroteorio (aŭ arteorio) estas branĉo de matematiko kaj komputiko kreita ĉefe de la germana matematikisto Georg Cantor fine de la 19-a jarcento. Ĝi komence estis disputata, sed nuntempe iĝis grava en la fundamentteorio por difini bazajn konceptojn kiel nombro. Komence oni evoluigis la naivan aŭ intuician arteorion, kiun oni povas difini jene:

La bazaj konceptoj de arteorio estas aroj kaj membreco. Aro estas kolekto de objektoj, nomitaj membroj (aŭ elementoj) de la aro. La membroj povas esti ekzemple nombroj, funkcioj, aŭ aroj mem. Oni skribas la arojn per la ondkrampoj { kaj }. Do {1,2} estas aro, kaj ankaŭ {1,2,3,4,...} (la infinita aro de la naturaj nombroj, nomata N), kaj eĉ {2,3,N}, do la membroj ne devas esti de la sama klaso. Ankaŭ la malplena aro {} estas konsiderata aro.

Al tiaj aroj oni povas apliki diversajn operaciojn, kiel la kunaĵon kaj la komunaĵon. Tamen montriĝis ke, se oni aplikas ĉiujn operaciojn senlime, aperas paradoksoj kiel la Rusela paradokso. Por solvi tiujn problemojn, oni rekonstruis la arteorion uzante aksioman metodon.

Funkcioj[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Funkcio (matematiko).

Se oni havas du arojn X kaj Y, oni povas establi diversajn konformecojn inter iliaj elementoj, kiujn oni esprimas per f, g, h, … simboloj. La konformeco inter aroj X kaj Y, estas nomata funkcio (aŭ bildigo), se al ĉiu elemento de X konformas unusola elemento el Y. La signo de la funkcio estas : y = f(x), kie x estas sendependa variablo, kaj y - dependa variablo.

Sendependa variablo (argumento) - la variablo, por ĉiu el kies valoroj estas donita responda valoro de funkcio.
Dependa variablo - la variablo donita per la valoroj de de funkcio; ekz. en la funkcio sin, x - estas la sendependa variablo (argumento), dum sin x estas dependa variablo.

Aro X nomiĝas kampo de difinoargumentaro, simbole D(f), kaj aro Y - kampo de valorojvaloraro, simbole E(f). Funkcio povas esti donita, se estas konata ĝia argumentaro kaj regulo de konformeco. Dume, la rimedoj por esprimo de la regulo povas esti diversaj:

  • Tabela - per la vicoj de argumentoj kaj ĝiaj konformaj signifoj;
  • Grafika - la aro de la punktoj M(x;y) sur la kartezia sistemo, prezentita laŭ formo de la rekto aŭ kurbo;
  • Analiza - per formulo, ekz. y = 3 x² + 1.

Limeso[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Limeso.

En matematiko la limesolimvaloro estas kvanto difinita laŭ certa regulo, kiu varias depende de tio ĉu temas pri limeso de funkciolimeso de vico, kaj ĉu temas pri limeso ĉe punktolimeso ĉe malfinio. La intuitiva ideo de ĉiuj tiuj difinoj de limeso estas ke ĝi estas la punkto al kiu iu kvanto alproksimiĝas. Ekzemple la vico (1/n) (do 1, 1/2, 1/3, ...) alproksimiĝas al 0 kiam n "alproksimiĝas" al malfinio.

Serio[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Serio (matematiko).

Serio en matematiko estas vico u, konsiderata kune kun ties vico v de partaj sumoj: vn=u0+u1+... +un, t.e.

v1=u0+u1
v2=u0+u1+u2
....
vj=u0+u1+... +uj
......
vn=u0+u1+... +uj+... +un

Pri maksimuma donita entjero n, la serio estas finia serio, kaj serio kun nefinia nombro de termoj estas nefinia serio.

La harmona serio estas tiu serio, kies ĝenerala termo egalas al 1/n; ĝi ne konverĝas.

La geometria serio estas tiu, kiu baziĝas sur geometria progresio; ĝi konverĝas, nur se la absoluta valoro de ĝia kvociento estas strikte malpli granda ol 1.

Derivaĵo[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Derivaĵo (matematiko).

Derivaĵo estas unu el la bazaj konceptoj de analitiko kaj infinitezima kalkulo, kune kun la integralo. La derivaĵo de funkcio ĉe iu ajn punkto estas la angula koeficiento de la grafeo de la funkcio ĉe tiu punkto.

Integralo[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Integralo.

Integralo estas unu el la ĉefaj konceptoj de kalkulo. Ĝi estas la areo inter la grafeo de funkcio kaj la x-akso.

Difinita integralo estas la areo S sub la kurbo

Difinita integralo estas la mezuro de la areo limigita de la grafo, la x-akso kaj la du limoj de la difinita integralo. Oni do ĉiam devas skribi la limojn de integralo. La kutima skribmaniero por integralo de la funkcio kun la limoj kaj estas

Nedifinita integralo estas integralo kies limoj ne estas specifitaj.

Integralo kun variabla supra limo estas funkcio, kies valoro ĉe la punkto x ĉiam estas la valoro de

kie a estas konstanto sendependa de x.

Integralo kun variabla suba limo estas funkcio, kies valoro ĉe la punkto x ĉiam estas la valoro de

kie a estas konstanto sendependa de x.

Malpropra integralo estas integralo, kiu havas senfinan limo-supron . Tiaj integraloj eblas estimi kiel limeso-integralo:

Integralo estas la inverso de derivaĵo, kiel diras la Fundamenta teoremo de kalkulo. Tio signifas ke se oni kalkulas la derivaĵon de integralo, la rezulto estos la komenca funkcio.

Tiel, se estas malderivaĵo de , do ankaŭ estas malderivaĵo de por ĉiu konstanto sendependa de . Tiel malderivaĵo estas fakte ne unu funkcio sed aro de fukcioj, diferenciĝantaj per aldono de konstanto. Ekzemple

Serio de Taylor[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Serio de Taylor.

Serio de Taylor estas prezento de funkcio kiel serio (malfinia sumo de termoj kalkulitaj laŭ valoroj de derivaĵoj de la funkcio je sola punkto. Se la punkto kie estas kalkulitaj derivaĵoj estas nulo, la serio estas nomata ankaŭ kiel serio de Maclaurin.

Subfakoj de analitiko[redakti | redakti fonton]

Analitiko konsistas krom el la diferenciala kaj la integrala kalkuloj el aliaj subfakoj. Inter tiuj estas la teorio pri kutimaj kaj partaj diferencialaj ekvacioj, variada kalkulo, vektora kalkulo, mezura analitiko kaj funkcionala kalkulo.

Infinitezima kalkulo[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Infinitezima kalkulo.

Infinitezima kalkulosenfinecona kalkulo estas branĉo de matematiko kiu entenas la diferencialan kalkulon kaj la integralan kalkulon, kiuj estas kunigitaj per la fundamenta teoremo de infinitezima kalkulo. La infinitezima kalkulo estas rigorigita en la analitiko.

La infiniteziman kalkulon malkovris en la 17-a jarcento Newton kaj Leibniz, kiuj uzis infinitezimajn kvantojn por determini tangentojn de kurboj aŭ por faciligi kalkulon de longoj kaj areoj de la kurbaj figuroj.

En la diferenciala kalkulo, oni kalkulas la derivaĵojn de funkcioj, dum en la integrala kalkulo oni kalkulas la integralojn de funkcioj. La fundamenta teoremo de infinitezima kalkulo diras ke la nedifinita integralo de funkcio ĉiam estas malderivaĵo de tiu funkcio, do ke la derivaĵo de la nedifinita integralo de funkcio f ĉiam egalas al f.

Diferenciala kalkulo[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Diferenciala kalkulo.

Ĉe lineara funkcio, kiel ekzemple rekto

estas m la inklino kaj c la y-aksa sekcio aŭ ordinata sekkcio de la rekto. Kiam estas nur du punktoj kaj sur rekto, tiam eblas kalkuli la inklinon per

Ĉe ne-linearaj funkcioj, kiel ekzemple ne eblas tiel kalkuli la inklinon, ĉar ili priskribas kurbiĝojn, kiuj do ne estas rektoj. Tamen eblas meti en unu punkton tanĝanton, kiu denove estas rekto. La problemo estas nun kalkuli la inklinon de tia tanĝanto en unu loko . Se oni elektas lokon tute proksiman al kaj metas rekton tra la punktoj kaj , tiam la inklino de tiu sekanto estas la inklino de la tanĝanto. La inklino de la sekanto estas (vidu supre)

Tiun kvocienton oni nomas diferenciala kvociento aŭ meza modifa indico. Kiam oni alproksimigas la lokon pli kaj pli al , tiam per la diferenciala kvociento troveblas la inklino de la tanĝanto. Do:

kio estas la diferenciala kvociento de f en . La esprimo signifas, ke x alproksimiĝas pli kaj pli al , tio estas, ke la distanco inter x kaj iĝas pli kaj pli malgranda. Eblas diri ankaŭ, ke: „x alproksimiĝas “. La indiko signifas la limon.

estas la limo de la diferenciala kvociento.

Ekzistas ankaŭ kazoj, kie tiu limo ne ekzistas. Tial oni enkondukis la terminon de diferencialeblo. Funkcio f estas diferencialebla en la loko , se ekzistas la limo .

Integrala kalkulo[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Integrala kalkulo.

Integrala kalkulo temas pri la kalkulo de areoj sub funkcigrafoj. Tian areon oni povas alproksimiĝi pere de sumoj de partaj areoj kaj atingas ĉe la limvaloro la integralon, por klaso de funkcioj, la tiel nomataj integreblaj funkcioj, kiu inkluas la kontinuajn funkciojn. En tiu klaso, difino de integralo estas

Harmona analitiko[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Harmona analitiko.

La Harmona analitikoanalitiko de Fourier estas metodo, malkovrita de Jean-Baptiste Joseph Fourier, kiu

la terminoj kaj nomatas koeficientoj de Fourier kaj kalkulendas tiel:

Funkcia analitiko[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Funkcia analitiko.

Variada kalkulo[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Variada kalkulo.

Kalkulo de variadoj estas kampo de matematiko kiu okupiĝas pri trovado de ekstremumaj funkcioj de funkcionaloj. La ekstremumaj funkcioj estas tiuj ĉe kiuj donita funkcionalo atingas maksimuman aŭ minimuman valoron. Ĉi tiuj funkcionaloj kutime estas integraloj engaĝantaj nekonatan funkcion kaj ĝiajn derivaĵojn. Tiel kalkulo de variadoj rilatas al funkcionaloj same kiel ordinara infinitezima kalkulo rilatas al funkcioj.

Unu el la plej simplaj ekzemploj de ĉi tia problemo estas trovado de kurbo kiu estas la plej mallonga konekto de du punktoj. Se ne estas limigoj, la solvaĵo estas evidente rekta streko inter la punktoj. Tamen, se la kurbo estas limigita al kuŝi sur surfaco en spaco, la solvaĵo estas malpli evidenta, kaj eble multaj malsamaj samlongaj solvaĵoj povas ekzisti. Ĉi tiaj solvaĵoj estas la geodeziaj kurboj. Rilatanta problemo estas afektita per principo de Fermat en optiko: lumo sekvas la vojon de plej mallonga optika longo konektanta la du punktojn, kie la optika longo dependas de la materialo tra kiu iras la lumo. Unu respektiva koncepto en mekaniko estas la principo de plej malgranda ago.

Multaj gravaj problemoj engaĝas funkciojn de kelkaj variabloj. Solvaĵoj de randaj valoraj problemoj por la Laplaca ekvacio kontentigas la principon de Dirichlet. Problemo de Plateau postulas trovadon de surfaco de minimuma areo kiu havas donitan randon en spaco; eksperimente la solvaĵoj povas troviĝi per drata konturo kaj sapa solvaĵo. Povas esti pli ol unu loke minimumiganta surfaco, kaj ili povas havi ne simplajn topologiojn.

Mezurteorio[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Mezuro (matematiko).

Kompleksa analitiko[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Kompleksa analitiko.

Kompleksa analitiko estas la branĉo de matematiko esploranta funkciojn de kompleksaj argumentoj. Ĝi havas praktikan uzon en aplika matematiko kaj en multaj aliaj branĉoj de matematiko. Kompleksa analitiko koncernas aparte analitikajn funkciojn de kompleksaj variabloj, sciatajn kiel holomorfaj funkcioj.

Nenorma analitiko[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Nenorma analitiko.

Nombra analitiko[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Nombra analitiko.

Analitika teorio de nombroj[redakti | redakti fonton]

Loupe.svg Pli detalaj informoj troveblas en la artikolo Analitika teorio de nombroj.

Plurdimensia analitiko[redakti | redakti fonton]

Ekzemplo de plurdimensia funkcio:

Multaj lernolibroj distingas analitikon unudimensia kaj analitikon plurdimensian. Tiu distingo ne rilatas al fundamentaj konceptoj, tamen obliĝas la matematika multeco kiam temas pri pluraj dimensioj. La plurdimensia analitiko observas funkciojn de pluraj realaj variabloj, bildigitaj ofte kiel vektoron-opo.

La terminoj de normigita spaco, de limvaloro de vico, de kontinua funkcio kaj de limvaloroj analoge ĝeneraligeblas en pluraj dimensioj.

Gravaj terminoj el la plurdimensia diferenciala kalkulado estas la direktoderivaĵo kaj la parta derivaĵo, kiuj estas derivaĵoj en variablo aŭ direkto. La teoremo de Schwarz certigas, kiam partaj aŭ direktoderivaĵoj de diversaj direktoj interŝanĝeblas. Krome gravas la termino de totala derivaĵo. Ĝi estas interpretebla kiel loka adapto de lineara bildigo al kurbiĝo de plurdimensia funkcio kaj estas la plurdimensia analogaĵo de unudimensia derivaĵo. La teoremo de implicitaj funkcioj pri la loka solvo de implicitaj ekvacioj estas grava teoremo de la plurdimensia analitiko kaj bazo de la diferenciala geometrio.

En la plurdimensia analitiko ekzistas diversaj integralaj terminoj kiel la kurba integralo, la surfaca integralo kaj la spaca integralo.

Bibliografio[redakti | redakti fonton]

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]