Kurbo

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

Matematiko > Geometrio > Kurbo / Linio


Kurbo - matematika termino, unu el fundamentaj terminoj de matematikaj disciplinoj kiel geometrio, diferenciala geometrio, topologio. La termino estas uzata en ĉiutaga lingvo.

Linio (de lat. Linea - lina fadeno) estas unu el primaraj nocioj en geometrio. Difini ĝin estas nefacile kaj diversaj branĉoj traktas malsame, ekzemple:

Intuiciaj postuloj[redakti | redakti fonton]

Malgraŭ intuicia facilo, la termino estas tre malfacila precize difini. Ĝusta difino povas esti "laŭvola linio" sur ebeno aŭ en 3D spaco, ankaŭ rekto, kiu povas diverĝi kaj rompiĝi.

(1) Linio sin prezentas unudimensian kontinuan aron da punktoj;
(2) Linio estas trajektorio de moviĝanta punkto;
(3) Linio estas bordo de la parto de surfaco.

Difino[redakti | redakti fonton]

Kompakta kurbo estas dukto (kontinuumo) de dimensio 1, alivorte kontinuumo en kiu por ĉiu ĝia punkto, kaj laŭvola ĉirkaŭaĵo de ĉi tiu punkto ekzistas ia ĉirkaŭaĵo de punkto, kiu entenas en lastan, kiu rando ne havas kontinuumon, kiu konsistas el ne pli ol unu punkto (ĉiaj punktoj havas laŭvolan ĉirkaŭaĵon kun 0-dimensia rando).

Pli fruaj nocioj de kurbo[redakti | redakti fonton]

Pavel Urysohn kaj Karl Menger difinis la koncepton per la topologio ĉirkaŭ 1920, tamen provoj difini la terminon "kurbo" okazis jam el antikveco:

  • Komentantoj de Eŭklido difinis ĝin kiel "longo sen larĝo" aŭ "redukta ebeno".

Sed ĉi tiuj difinoj ne estas difinoj en matematika senco.

Alinome kurbo de Jordan estas bildo de intervalo (ekvivalente: segmento) en kontinua bildigo. Bedaŭrinde, ĉi tiu difino estas tro entenanta. En 1890 jaro Giuseppe Peano pruvis, ke laŭ ĉi tiu difino kvadrato kun enhavo estas ankaŭ kurbo (kurbo de Peano).

Generoj de kurboj[redakti | redakti fonton]

Oni povas difini kelkajn diferencajn generoj de kurboj kiam oni aldonas al difino de Jordan aldonatajn kondiĉojn al funkcioj \varphi kaj \psi. ekzemple:

Iuj kurboj[redakti | redakti fonton]

En elementa geometrio oni esploras rektan linion aŭ rekton, detranĉojn de rekto, rompitan linion, kurban linion aŭ kurbon. Ĉiu speco de linio estas determinita per speciala maniero, ekz. "Cirklo estas aro de tiuj punktoj, kiuj egale distancas de la donita punkto O". Oni nomas la punkton O - centro de la cirklo, kaj la distancon R - radiuso de la cirklo.

Linio povas esti prezentita per parametroj. Ekz. se enkonduki ortajn koordinatojn (x, y) sur ebeno, oni povas doni radiuson de la cirklo R kun centro en O, per sekvajn ekvacioj: x=R · cos t, y=R · sin t, kiam parametro t forkuras intervalon 0≤t≤2p, tiam la punkto (x, y) elskribas la cirklon.

Kaj ĝenerale oni prezentas linion sur la ebeno per parametra ekvacio x=Φ(t) kaj y=Ψ(t), kie Φ(t), Ψ(t) estas arbitraj funkcioj, kontinuaj sur iu finia aŭ nefinia intervalo D de la nombra akso t. Por ĉiu valoro de la parametro el intervalo D, la ekvaciaro kompareblas al la punkto M, kies koordinatojn oni povas difini per la nomitaj ekvacioj. Analogie ĝeneraligas ĉi tiun regulon por 3-dimensiaj kaj plurdimensiaj spacoj.

En analiza geometrio oni prezentas linion per algebraj funkcioj, t.e. per plurtermoj kun n≥1 gradoj. Depende de la gradoj oni distingas jenajn liniojn:

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Por pli redakti bonvolu rigardi Vikipedio:Projekto_matematiko/Kurbo

Por pli redakti bonvolu rigardi Vikipedio:Projekto_matematiko/Kurbeco

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]