Ekvacio

Ilustraĵo pri simpla ekvacio; x, y, z estas reelaj nombroj analogaj al pezoj.

Ekvacio estas egalaĵo enhavanta almenaŭ unu variablon, kiu simbole reprezentas nekonatan valoron/grandon el la subkomprenata aro. Depende de la nombro de malsamaj enestantaj variabloj, ekvacio povas esti unuvariabla, duvariabla ktp. La solvo (por iuj tipoj de ekvacioj nomata "radiko") de unuvariabla ekvacio estas tia valoro de la variablo, kiu igas ekvacion valida egalaĵo, se ĝi anstataŭas ĉiujn aperijn de la variablo en la egalaĵo. Ekzemple, la solvo de la unuvariabla ekvacio 3x - 1 = 2x + 5 estas la nombro 6, ĉar 3 · 6 - 1 = 2 · 6 + 5.

La aro de la solvoj de iu ekvacio povas esti finia, malplena aŭ nefinia. Ekzemple, la aro de la solvoj de la ekvacio 5x + 3 = 5x estas malplena (t.e. ĝi ne havas solvon); por la ekvacio (x+2)(x-3)=0, ĝi estas {-2; 3}, kaj por la ekvacio |x| = x, ĝi estas [0; +∞).

Rimarko: funkcio |x| nomiĝas modulo de x kaj difineblas jene: |a|=a, se a>=0 kaj |a|=-a, se a<0.

Solvi ekvacion signifas trovi la aron de ĝiaj solvoj. Ekvacioj estas ekvivalentaj, se ili havas la samajn solvojn. Ĝenerale, ĉiu unuvariabla ekvacio povas esti prezentita kiel f(x)=0 kaj la aro de ĝiaj solvoj estas aro de abscisoj de la punktoj, rezultitaj pro la intersekco de la grafiko y=f(x) kun OX akso.

Oni konas sekvajn ekvaciojn en matematiko:

• Algebra ekvacio - ekvacio egaliganta polinomon al nulo.
  • Lineara unuvariabla ekvacio - $ax+b=0$
  • Kvadrata ekvacio - entenanta la kvadraton (duagradon) de la serĉata nombro aŭ kvanto - $ax^{2}+bx+c=0$.
  • Kuba ekvacio - entenanta la kubon (triagradon) de la serĉata nombro aŭ kvanto.
  • Bikvadrata ekvacio: $ax^{4}+bx^{2}+c=0$
• Diferenciala ekvacio - ekvacio enhavanta derivaĵojn.
• Diofanta ekvacio

La finia aro de ekvacioj, kiuj enhavas la samajn variablojn, estas nomata ekvaciaro aŭ sistemo de ekvacioj. La solvo de la ekvaciaro estas la komuna solvo de ĉiu ekvacioj de la sistemo. Depende de la kvanto de solvoj, sistemo povas esti solvohava (unusolva aŭ plursolva) kaj sensolva.

Priskribo

La unua uzo de la egalsigno, egalvalora al 14x + 15 = 71 en moderna notacio. El la verko The Whetstone of Witte de Robert Recorde el Kimrio (1557).

Ekvacio estas skribita kiel du esprimoj, ligitaj per egalsigno ("="). La esprimoj sur la du flankoj de la egala signo estas nomitaj la "maldekstra flanko" kaj "dekstra flanko" de la ekvacio. Tre ofte la dekstra flanko de ekvacio estas supozita kiel nulo. Tio ne reduktas la ĝeneralecon, ĉar tio povas esti realigita subtrahante la dekstran flankon de ambaŭ flankoj.

La plej ofta speco de ekvacio estas polinoma ekvacio (ofte nomata ankaŭ algebra ekvacio) en kiu la du flankoj estas polinomoj. La flankoj de polinoma ekvacio enhavas unu aŭ plurajn terminojn. Ekzemple, la ekvacio

$Ax^{2}+Bx+C-y=0$

havas maldekstran flankon $Ax^{2}+Bx+C-y$, kiu havas kvar terminojn, kaj dekstran flankon $0$, konsistantan el nur unu termino. La nomoj de la variabloj indikas ke x kaj y estas nekonataj, kaj ke A, B, kaj C estas parametroj, sed tio estas normale fiksita per la kunteksto (en kelkaj kuntekstoj, y povas esti parametro, aŭ A, B, kaj C povas esti ordinaraj variabloj).

Ekvacio estas analoga al pesilo en kiun pezoj estas metitaj. Kiam egalaj pezoj de io (ekz., greno) estas metitaj en la du patojn, la du pezoj igas la pesilon esti en ekvilibro kaj laŭdire estas egalaj. Se kvanto da greno estas forigita de unu pato de la pesilo, egala kvanto devas esti forigita de la alia pato por konservi la pesilon en ekvilibro. Pli ĝenerale, ekvacio restas ekvilibra se la sama operacio estas farita ĉiuflanke.

Ecoj

Du ekvacioj aŭ du sistemoj de ekvacioj estas ekvivalentaj, se ili havas la saman aron de solvoj. La sekvaj operacioj transformas ekvacion aŭ sistemon de ekvacioj en ekvivalentan - kondiĉe ke la operacioj estu signifaj por la esprimoj al kiuj ili estas aplikataj:

• Aldoni aŭ subtrahi la saman kvanton al ambaŭ flankoj de ekvacio. Tio montras ke ĉiu ekvacio estas ekvivalenta al ekvacio en kiu la dekstra flanko estas nulo.
• Multobligi aŭ dividi ambaŭ flankojn de ekvacio per ne-nula kvanto.
• Apliki identecon por transformi unu flankon de la ekvacio. Ekzemple, vastigi produkton aŭ faktorigi sumon.
• Por sistemo: aldoni al ambaŭ flankoj de ekvacio la korespondan flankon de alia ekvacio, multobligita per la sama kvanto.

Se iu funkcio estas aplikita al ambaŭ flankoj de ekvacio, la rezulta ekvacio havas la solvojn de la komenca ekvacio inter siaj solvaĵoj, sed povas havi pliajn solvojn nomitajn eksteraj solvaĵoj. Ekzemple, la ekvacio $x=1$ havas la solvon $x=1$. Levi ambaŭ flankojn al la eksponento de 2 (kio signifas apliki la funkcion $f(s)=s^{2}$ al ambaŭ flankoj de la ekvacio) ŝanĝas la ekvacion al $x^{2}=1$, kio ne nur havas la antaŭan solvon sed ankaŭ enkondukas la eksteran solvon, $x=-1$. Krome, se la funkcio ne estas difinita ĉe kelkaj valoroj (kiel ekzemple 1/x, kiu ne estas difinita por x = 0), solvoj ekzistantaj ĉe tiuj valoroj povas perdiĝi. Tiel, singardemo devas esti ekzercita dum aplikado de tia transformo al ekvacio.

Ĉi-supraj transformoj estas la bazo de la plej multaj elementaj metodoj por ekvacia solvado, same kiel kelkaj malpli elementaj metodoj, kiel Gaŭsa eliminado.

Ekzemploj

Analogaj ilustraĵoj

Pesilo estas taŭga metaforo de la koncepto ekvacio.

Ekvacio estas analoga al funkciado de pesilo, balancilo aŭ baskulo.

Ĉiu flanko de la ekvacio respondas al unu flanko de la pesilo. Malsamaj kvantoj povas esti metitaj sur ĉiu flanko: se la pezoj sur la du flankoj estas egalaj, la pesilo ekvilibriĝas, kaj analoge, ankaŭ la egaleco kiu reprezentas la pesilon estas ekvilibra (se ne, tiam la manko de ekvilibro egalrilatas al malegaleco reprezentita per neekvacio).

En supra bildo, x, y kaj z estas ĉiuj diferencaj kvantoj (en tiu kazo reelaj nombroj) reprezentitaj kiel cirklaj pezoj, kaj ĉiu el x, y, kaj z havas diferencan pezon. Aldono korespondas al aldono de pezo, dum subtraho korespondas al forigo de pezo de kio jam estas tie. Kiam egaleco validas, la totala pezo sur ĉiu flanko estas la sama.

Parametroj kaj nekonitaĵoj

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Esprimo (matematiko).

Ekvacioj ofte enhavas terminojn disde la nekonatoj. Tiuj aliaj terminoj, kiuj supozeble estas konataj, estas kutime nomitaj konstantoj, koeficientoj aŭ parametroj.

Ekzemplo de ekvacio en kiu x kaj y estas nekonitaĵoj kaj la parametro estas R estas

$x^{2}+y^{2}=R^{2}.$

Kiam R estas elektita por havi la valoron de 2 (R = 2), ĉi tiu ekvacio estus rekonita en karteziaj koordinatoj kiel la ekvacio por la cirklo de radiuso de 2 ĉirkaŭ la origino. Tial, la ekvacio kun R nespecifita estas la ĝenerala ekvacio por la cirklo.

Kutime, la nekonitaĵoj estas markitaj per literoj de la fino de alfabeto, x, y, z, w, ..., dum koeficientoj (parametroj) estas markitaj per literoj de la komenco, a, b, c, d, ... . Ekzemple, la ĝenerala kvadrata ekvacio estas kutime verkita kiel ax² + bx + c = 0.

La procezo de trovado de la solvoj, aŭ, en kazo de parametroj, esprimado de la nekonataĵoj laŭ la parametroj, estas nomita solvado de la ekvacio. Tiaj esprimoj de la solvoj laŭ la parametroj estas nomitaj solvoj.

Sistemo de ekvacioj estas aro de samtempaj ekvacioj, kutime en pluraj nekonataĵoj por kiuj oni serĉas la komunajn solvojn. Tiel, solvo al la sistemo estas aro de valoroj por ĉiu el la nekonataĵoj, kiuj kune formas solvon al ĉiu ekvacio en la sistemo. Ekzemple, la sistemo

${\begin{aligned}3x+5y&=2\\5x+8y&=3\end{aligned}}$

havas la unikan solvon x = −1, y = 1.

Identecoj

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Idento (matematiko).

Identeco estas ekvacio kiu validas por ĉiuj eblaj valoroj de la variablo(j) kiu(j)n ĝi enhavas. Multaj identecoj estas konataj en algebro kaj kalkulado. En la procezo de solvado de ekvacio, identeco ofte estas uzata por simpligi ekvacion, igante ĝin pli facile solvebla.

En algebro, ekzemplo de identeco estas la diferenco de du kvadratoj:

$x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)$

kio ĝustas por ĉiuj x kaj y.

Trigonometrio estas fako en kiu ekzistas multaj identecoj; tiuj estas utilaj por manipulado aŭ solvado de trigonometriaj ekvacioj. Du el multaj en kiuj ludas rolon la funkcioj sinuso kaj kosinuso estas jenaj:

$\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1$

kaj

$\sin(2\theta )=2\sin(\theta )\cos(\theta )$

el kiuj ambaŭ ĝustas por ĉiuj valoroj de θ.

Ekzemple, por solvi la valoron de θ kontentigante la ekvacion:

$3\sin(\theta )\cos(\theta )=1\,,$

kie θ estas limigita al inter 0 kaj 45 gradoj, oni povas uzi la supran identecon por ke la produto estu:

${\frac {3}{2}}\sin(2\theta )=1\,,$

donante la sekvan solvon por θ:

$\theta ={\frac {1}{2}}\arcsin \left({\frac {2}{3}}\right)\approx 20.9^{\circ }.$

Ĉar la sinusfunkcio estas perioda funkcio, ekzistas senlime multaj solvoj se ekzistas neniuj restriktoj por θ. En ĉi tiu ekzemplo, limigi θ por esti inter 0 kaj 45 gradoj limigus la solvon al nur unu nombro.

Algebra ekvacio

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Algebra ekvacio.

Algebro studas du ĉefajn familiojn de ekvacioj: polinomaj ekvacioj kaj, inter ili, la speciala kazo de la linearaj ekvacioj. Kiam ekzistas nur unu variablo, polinomaj ekvacioj havas la formon P(x) = 0, kie P estas polinoma, kaj linearaj ekvacioj havas la formon ax + b = 0, kie a kaj b estas parametroj. Por solvi ekvaciojn de ambaŭ familioj, oni uzas algoritmajn aŭ geometriajn teknikojn kiuj originas de lineara algebro aŭ de matematika analizo. Algebro ankaŭ studas Diofantajn ekvaciojn, en kiuj la koeficientoj kaj solvoj estas entjeroj. La teknikoj uzataj estas malsamaj kaj venas de nombroteorio. Ĉi tiuj ekvacioj estas malfacilaj ĝenerale; oni ofte serĉas nur trovi la ekziston aŭ foreston de solvo, kaj, se ili ekzistas, kalkuli la nombron da solvoj.

Algebra ekvacio estas ekvacio en formo W(x) = 0, kie W(x) estas polinomo de ŝtupo n unu kaj plu variantoj (n ≥ 0). Algebra ekvacio havas formon:

$\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}}=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}=0$

kie:

n - ne negativa entjero.

a₀, a₁, ..., a_n - elementoj de ia kampo. Ili nomas koeficienton de ekvacio.

x - varianto, kiu estas serĉata.

Oni lemis, ke koeficiento de ekvacio ne estas ĉiu nulo. Se a_n ≠ 0, tiam n nomas ŝtupo de ekvacio. Valoroj de varianto x, kiuj estas radikoj de ekvacio aŭ radiko de polinomo.

La solvoj –1 kaj 2 de la polinoma ekvacio x² – x + 2 = 0 estas la punktoj en kiuj la grafikaĵo de la kvadrata funkcio y = x² – x + 2 tranĉas la x-akson.

Ĝenerale, algebra ekvacio aŭ polinoma ekvacio estas ekvacio de tiu formo

$P=0$, or

$P=Q$

en kiu P kaj Q estas polinomaj kun koeficientoj en kelkaj lampoj (ekz., racionalaj nombroj, reelaj nombroj, kompleksaj nombroj). Algebra ekvacio estas nevariebla se ĝi enhavas nur unu variablon. Aliflanke, polinoma ekvacio povas enhavi kelkajn variablojn, en kiu kazo ĝi nomiĝas multvariebla (multaj variabloj, x, y, z, ktp.).

Ekzemple,

$x^{5}-3x+1=0$

estas unuvariebla algebra (polinoma) ekvacio kun entjeraj koeficientoj kaj

$y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}$

estas multvariebla polinoma ekvacio pri la racionalaj nombroj.

Kelkaj polinomaj ekvacioj kun racionalaj koeficientoj havas solvon kiu estas algebra esprimo, kun finia nombro de operacioj en kiuj estas ĝuste tiuj koeficientoj (t.e., ili povas esti solvitaj algebre). Tion oni povas fari por ĉiuj tiaj ekvacioj de grado unu, du, tri aŭ kvar; sed ekvacioj de grado kvin aŭ pli ne ĉiam povas esti solvitaj tiamaniere, kiel la Abel-Ruffini-teoremo montras.

Granda kvanto de esplorado estis dediĉita por komputi efike precizajn aproksimadojn de la reelaj aŭ kompleksaj solvoj de unuvaria algebra ekvacio kaj de la komunaj solvoj de pluraj plurvariaj polinomaj ekvacioj.

Sistemoj de linearaj ekvacioj

"La naŭ ĉapitroj pri Matematika Arto" estas anonima ĉina libro de la 2-a jarcento kiu proponas metodon de solvado por linearaj ekvacioj.

Sistemo de linearaj ekvacioj (aŭ lineara sistemo) estas kolekto de linearaj ekvacioj en kiuj estas unu aŭ pliaj variabloj. Ekzemple,

${\begin{alignedat}{7}3x&&\;+\;&&2y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&1&\\2x&&\;-\;&&2y&&\;+\;&&4z&&\;=\;&&-2&\\-x&&\;+\;&&{\tfrac {1}{2}}y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}$

estas sistemo de tri ekvacioj en la tri variabloj x, y, z. Solvo al lineara sistemo estas asigno de nombroj al la variabloj tia ke ĉiuj ekvacioj estas samtempe kontentigitaj. Solvo al la supra sistemo estas donita per

${\begin{alignedat}{2}x&\,=\,&1\\y&\,=\,&-2\\z&\,=\,&-2\end{alignedat}}$

ĉar ĝi validigas ĉiujn tri ekvaciojn. La vorto "sistemo" indikas, ke la ekvacioj estas konsiderotaj kolektive, prefere ol individue.

En matematiko, la teorio de linearaj sistemoj estas fundamenta parto de lineara algebro, temo kiu estas uzata en multaj partoj de moderna matematiko. Komputilaj algoritmoj por trovi la solvojn estas grava parto de nombra lineara algebro, kaj ludas elstaran rolon en fiziko, inĝenieriko, kemio, komputiko, kaj ekonomiko. Sistemo de ne-liniaj ekvacioj ofte povas esti alproksimigita per linia sistemo, helpema tekniko dum farado de matematika modelo aŭ komputila simulado de relative kompleksa sistemo.

Kvadrata ekvacio

Por trovi radikojn de kvadrata ekvacio $ax^{2}+bx+c=0$ oni kalkulas $\Delta =b^{2}-4ac$.

• Se $\Delta >0$, la ekvacio havas 2 radikojn: ${\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$ kaj ${\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$.
• Se $\Delta =0$, la ekvacio havas 1 radikon: ${\frac {-b}{2a}}$.
• Se $\Delta <0$, la ekvacio havas neniujn reelajn radikojn. Sed tiam estas du kompleksaj radikojn.

Fama ekvacio

Vaste konata estas la ekvacio E=mc², kiu aperas en la teorio de ĝenerala relativeco de Albert Einstein.

Diferenciala ekvacio

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Diferenciala ekvacio.

Diferenciala ekvacio estas ekvacio, en kiu derivaĵoj de nekonataj funkcioj aperas kiel variabloj. Multaj el la fundamentaj leĝoj de fiziko, ĥemio, biologio kaj ekonomiko povas esti formulitaj kiel diferencialaj ekvacioj. Diversaj sciencaj kampoj ofte havas identajn diferencialajn ekvaciojn. En ĉi tiaj okazoj, la matematika teorio ligas sufiĉe diversajn sciencajn kampojn.

La ordo de diferenciala ekvacio estas ordo de la plej alta derivaĵo kiun ĝi enhavas. Ekzemple, diferenciala ekvacio de la 1-a ordo enhavas nur unuajn derivaĵojn.

En matematikaj aplikoj ofte aperas problemoj, en kiuj la dependeco de unu parametro de alia estas nekonata, sed eblas skribi esprimon por la rapideco de ŝanĝo de unu parametro rilate al alia (derivaĵo). Ĉi-kaze la problemo reduktiĝas al trovado de funkcio per ĝia derivaĵo rilata al iuj aliaj esprimoj.

Specoj de diferencialaj ekvacioj

• Ordinara diferenciala ekvacio ODE nur enhavas funkciojn de unu nedependa variablo, kaj derivaĵoj de ĉi tiu variablo.
• Diferenciala ekvacio en partaj derivaĵoj PDE enhavas funkciojn de multaj nedependaj variabloj kaj iliaj partaj derivaĵoj.
• Malfrua diferenciala ekvacio DDE enhavas funkciojn de unu nedependa variablo, kaj derivaĵoj de la funkcioj estas en la ekvacio kune kun valoroj de la funkcioj rezultantaj de la aliaj (antaŭaj) valoroj de la nedependa variablo. (la termino "malfrua" estas pro tio ke la nedependa variablo ofte estas tempo).
• Stokasta diferenciala ekvacio SDE estas diferenciala ekvacio en kiu unu aŭ kelkaj variabloj estas stokastikaj, tial la rezultanta solvaĵo estas mem stokastiko.

Diferencialaj ekvacioj de ĉiu el ĉi tiuj kategorioj estas disdividita en linearajn kaj nelinearajn. Diferenciala ekvacio estas lineara se ĝi enhavas la nekonatan funkcion kaj ĝiajn derivaĵojn nur en la unua potenco; alie la diferencialah ekvacio estas nelineara. Ekzemplo (ĉi tie u' (t) estas derivaĵo de u(t) je la nedependa variablo t ): ekvacio

u' (t) = u(t)

estas lineara; tie la solvo estas $u(t)=k\cdot e^{t}$, kun k reela nombro.

La ekvacioj

u' (t)= (u (t))²

(u' (t))² = u (t)

estas nelinearaj.

Linearaj ekvacioj ofte aperas kiel proksimumaĵoj al nelinearaj ekvacioj, kaj ĉi tiuj proksimumaĵoj estas nur validaj je limigitaj kondiĉoj.

Sistemoj de diferencialaj ekvacioj

Sistemo de diferencialaj ekvacioj estas aro de diferencialaj ekvacioj konsiderataj kune, kaj kvanto de la nekonataj funkcioj normale egalas al kvanto de la ekvacioj.

La ordo de sistemo de diferencialaj ekvacioj estas sumo de ordoj de la apartaj ekvacioj.

Ĉiu diferenciala ekvacio aŭ sistemo de diferencialaj ekvacioj de ordo n povas esti reformigita en sistemon de n diferencialaj ekvacioj, ĉiu el ili de ordo 1. Por ĉi tio necesas enkonduki aldonajn funkciojn, egalajn al derivaĵoj de la jam ekzistantaj nekonataj funkcioj. Ekzemplo (ĉi tie u' (t) estas derivaĵo de u(t) je la nedependa variablo t ):

Estu diferenciala ekvacio kun nekonata funkcio u(t) de la 3-a ordo

u' ' ' (t) + u' ' (t) + u(t) = 1 + t

Estu novaj nekonataj funkcioj:

v(t) = u' (t)

w(t) = v' (t)

kaj la difinoj supre fakte estas diferencialaj ekvacioj, ĉiu de la 1-a ordo. Tiam la ekvacio povas esti reskribita en formo

w' (t) + v' (t) + u(t) = 1 + t

kiu estas ekvacio de la 1-a ordo. Kaj kune kun la supraj difinoj por v(t) kaj w(t) ĝi formas sistemon el 3 ekvacioj de la 1-a ordo.

Linearaj homogenaj diferencialaj ekvacioj

Lineara homogena diferenciala ekvacio estas ekvacio, en kiu aŭ la nekonata funkcio aŭ ĝuste unu el ĝiaj derivaĵoj estas en ĉiu adiciaĵo en la ambaŭ flankoj. Ekzemple la ekvacio

u' (t) = u(t)

estas lineara kaj homogena, ĉar ĝia konstanta termo nulas.

La ekvacio

u' (t) = u(t) + 1

estas lineara sed ne homogena, pro la adiciaĵo 1.

Se estas kelkaj solvaĵoj de la lineara homogena ekvacio, do ĉiu lineara kombinaĵo de la solvaĵoj ankaŭ estas la solvaĵo. Ĝenerala solvaĵo de lineara homogena ekvacio estas lineara kombinaĵo kun ĉiuj koeficientoj de kelkaj bazaj solvaĵoj. La solvaĵoj formas vektorspacon de iu dimensio, la dimensio povas esti kaj finia kaj malfinia.

Normale lineara homogena ordinara diferenciala ekvacio havas dimension de la spaco de solvaĵoj egalan al ordo de la ekvacio. Sistemo de ĉi tiaj ekvacioj havas dimension de la spaco de solvaĵoj egalan al sumo de ordoj de la ekvacioj.

Normale lineara homogena diferenciala ekvacio en partaj derivaĵoj kaj lineara homogena malfrua diferenciala ekvacio havas malfinian dimension de la spaco de solvaĵoj.

Geometrio

Analiza geometrio

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Analitika geometrio.

Konika sekcio estas la intersekco de ebeno kaj konuso revolucia.

En Eŭklida geometrio, eblas asociigi serion de koordinatoj al ĉiu punkto en spaco, por ekzemplo pere de ortogona krado. Tiu metodo ebligas karakterizi geometriajn figurojn pere de ekvacioj. Ebeno en tri-dimensia spao povas esti esprimita kiel la solva aro de ekvacio laŭ la formulo $ax+by+cz+d=0$, kie $a,b,c$ kaj $d$ estas realaj nombroj kaj $x,y,z$ estas la nekonataĵoj kiuj korespondas al la koordinatoj de punkto en la sistemo difinita pere de la ortogona krado. La valoroj $a,b,c$ estas la koordinatoj de vektoro perpendikulara al la ebeno difinita pere de la ekvacio. Linio estas esprimita kiel la intersekco de du ebenoj, kio estas la solva aro de sollinia ekvacio kun valoroj en $\mathbb {R} ^{2}$ aŭ kiel la solva aro de du liniaj ekvacioj kun valoroj en $\mathbb {R} ^{3}.$

Konika sekcio estas la intersekco de konuso kun ekvacio $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ kaj ebeno. Alivorte, en la spaco, ĉiuj konikoj estas difinitaj kiel la solva aro de ekvacio de ebeno kaj de ekvacio de konuso ĝuste difinita. Tiu formalismo ebligas determini la poziciojn kaj la proprecojn de la fokusoj de koniko.

La uzado de ekvacioj ebligas la aliron al granda areo de matematiko por solvi geometriajn demandojn. la sistemo de karteziaj koordinatoj transformas geometrian problemon en analiza problemo, ĉar la figuroj estas transformataj en ekvacioj; kaj de tio devenas la nomo de analiza geometrio. Tiu vidpunkto, jam skizita fare de Descartes, pliriĉigis kaj modifas la tipon de geometrio konceptita de la antikvgrekaj matematikistoj.

Nuntempe, analiza geometrio designas aktivan branĉon de matematiko. Kvankam ĝi ankoraŭ uzas ekvaciojn por karakterizi figurojn, ĝi uzas ankaŭ aliajn kompleksajn teknikojn tiajn kiaj la "funkcia analizo" kaj la lineara algebro.

Karteziaj ekvacioj

Kartezikoordinata sistemo kun cirklo de radiuso 2 centrita ĉe origino markita ruĝe. La ekvacio de cirklo estas (x − a)² + (y − b)² = r² kie a kaj b estas la koordinatoj de la centro (a, b) kaj r estas la radiuso.

En kartezia geometrio, ekvacioj estas uzataj por priskribi geometriajn figurojn. Ĉar la ekvacioj kiuj estas konsiderataj, kiel implicitaj ekvacioj aŭ parametraj ekvacioj, havas senlime multajn solvojn, la celo nun estas alia: anstataŭ doni la solvojn eksplicite aŭ kalkuli ilin, kio estas neebla, oni uzas ekvaciojn por studi ecojn de figuroj. Tio estas la komenca ideo de algebra geometrio, grava areo de matematiko.

Oni povas uzi la saman principon por specifi la pozicion de iu punkto en tridimensia spaco per la uzo de tri karteziaj koordinatoj, kiuj estas la signitaj distancoj al tri reciproke perpendikularaj ebenoj (aŭ, ekvivalente, per ilia perpendikulara projekcio sur tri reciproke perpendikularaj linioj).

La invento de karteziaj koordinatoj en la 17-a jarcento fare de René Descartes revoluciigis matematikon disponigante la unuan sisteman ligon inter eŭklida geometrio kaj algebro. Uzante la kartezian koordinatsistemon, geometriaj formoj (kiel ekzemple kurboj) povas esti priskribitaj per karteziaj ekvacioj: algebraj ekvacioj implikantaj la koordinatojn de la punktoj kuŝantaj sur la formo. Ekzemple, cirklo de radiuso 2 en ebeno, centrita sur speciala punkto nomita la origino, povas esti priskribita kiel la aro de ĉiuj punktoj kies koordinatoj x kaj y kontentigas la ekvacion x² + y² = 4.

Parametraj ekvacioj

Parametra ekvacio por kurbo esprimas la koordinatojn de la punktoj de la kurbo kiel funkcioj de variablo, nomata parametro. Ekzemple,

${\begin{aligned}x&=\cos t\\y&=\sin t\end{aligned}}$

estas parametraj ekvacioj por la unuocirklo, kie t estas la parametro. Kune, ĉi tiuj ekvacioj estas nomitaj parametra reprezentado de la kurbo.

La nocio de parametra ekvacio estis ĝeneraligita al surfacoj, sternaĵoj kaj algebraj variaĵoj de pli alta dimensio, en kiuj la nombro da parametroj estas egala al la dimensio de la sternaĵo aŭ variaĵo, kaj la nombro da ekvacioj estas egala al la dimensio de la spaco en kiu la sternaĵo aŭ variaĵo estas konsideritaj (por kurboj la dimensio estas unu kaj unu parametro estas uzita, por surfacaj dimensioj du, kaj du parametroj, ktp).

Nombroteorio

Diofantaj ekvacioj

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Diofanta ekvacio.

Trovi ĉiujn rektajn triangulojn kun pli entjeraj flanko-longoj estas egalvalora por solvi la Diofantan ekvacion $a^{2}+b^{2}=c^{2}.$

Diofanta ekvacio estas polinoma ekvacio en du aŭ pli da nekonataĵoj, por kiuj oni serĉas nur la entjerajn solvojn (entjera solvo estas solvo tia, ke ĉiuj nekonataĵoj prenas entjerajn valorojn). Lineara Diofanta ekvacio estas ekvacio inter du sumoj de monomoj de grado nulo aŭ unu. Ekzemplo de lineara Diofanta ekvacio estas ax + by = c kie a, b, kaj c estas konstantoj. Eksponenta Diofanta ekvacio estas unu por kiu eksponentoj de la terminoj de la ekvacio povas esti nekonataj.

Diofantaj problemoj havas malpli da ekvacioj ol nekonataj variabloj kaj implikas trovi entjerojn kiuj funkcias ĝuste por ĉiuj ekvacioj. En pli teknika lingvo, ili difinas algebran kurbon, algebran surfacon aŭ pli ĝeneralan objekton, kaj demandas pri la kradaj punktoj sur ĝi.

La vorto Diofanta rilatas al la helenisma matematikisto de la 3-a jarcento, Diofanto el Aleksandrio, kiu faris studon de tiaj ekvacioj kaj estis unu el la unuaj matematikistoj, kiuj enkondukis simbolecon en algebron. La matematika studo de Diofantaj problemoj kiujn Diofanto iniciatis nun estas nomita "Diofanta analizo".

Algebra kaj transcenda nombroj

Pli detalaj informoj troveblas en artikoloj Algebra nombro kaj Transcenda nombro.

Algebra nombro estas nombro kiu estas solvo de ne-nula polinoma ekvacio en unu variablo kun racionalaj koeficientoj (aŭ samvalore — pere de klarigaj denominatoroj — kun entjeraj koeficientoj). Oni diras, ke nombroj kiaj pi estas transcendaj. Preskaŭ ĉiuj reelaj kaj kompleksaj nombroj estas transcendaj.

Algebra geometrio

Projekcio de sfero sur ebeno.

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Algebra geometrio.

Algebra geometrio estas branĉo de matematiko, kiu klasike studas solvojn de polinomaj ekvacioj. Moderna algebra geometrio estas bazita sur pli abstraktaj teknikoj de abstrakta algebro, speciale de komuta algebro, pere de la lingvaĵo kaj la problemoj kaeakteraj por geometrio.

La fundamentaj studobjektoj en algebra geometrio estas algebraj variaĵoj, kiuj estas geometriaj manifestaĵoj de solvaroj de sistemoj de polinomaj ekvacioj. Ekzemploj de plej multe studitaj klasoj de algebraj variaĵoj estas jenaj: ebenaj algebraj kurboj, kio inkludas rektajn liniojn, cirklojn, parabolojn, elipsojn, hiperbolojn, kubajn kurbojn kiel elipsaj kurboj kaj kvartikaj kurboj kiel lemniskatoj, kaj ovaloj de Cassini. Punkto de la ebeno apartenas al algebra kurbo se ĝiaj koordinatoj kontentigas donitan polinoman ekvacion. Bazaj demandoj implikas la studon de la punktoj de speciala intereso kiel la unuopaj punktoj, la trafleksaj punktoj kaj la punktoj ĉe malfinio. Pli progresintaj demandoj implikas la topologion de la kurbo kaj rilatojn inter la kurboj donitaj per malsamaj ekvacioj.

Eksteraj ligiloj

• Winplot: Ĝeneralcela grafikaĵo, kiu povas desegni kaj animacii 2D kaj 3D matematikajn ekvaciojn.
• Equation plotter: Retejo por produkti kaj elŝuti pdf aŭ postskribajn resumojn de la solvaroj al ekvacioj kaj neekvacioj en du variabloj (x kaj y).