Lineara algebro

En tridimensia eŭklida spaco, tiuj tri ebenoj (verda, flava kaj griza) reprezentas solvojn al sistemoj de linearaj ekvacioj, kaj ilia intersekco reprezentas la aron de komunaj solvoj: en ĉi tiu kazo, unika punkto ĉe la originpunkto de la kartezia koordinato. La blua linio reprezentas la aron de punktoj kiu estas la komuna solvo al du el ĉi tiuj ekvacioj (la flava kaj la verda).

Lineara algebro estas branĉo de matematiko, kiu origine okupiĝis pri sistemoj de linearaj ekvacioj, kiel

$a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b$

kaj linearaj transformoj, kiel

$(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}$.

La moderna lineara algebro uzas la nociojn vektoro, vektorspaco, matrico kaj lineara transformo kiel ilojn por esplorado.

Lineara algebro estas grava kampo en matematiko, kiu estas esenca al multaj aliaj kampoj. Ekzemple, lineara algebro estas esenca por moderna prezento de geometrio, ĉar ĝi difinas la bazajn terminojn "punkto", "rekto" kaj "ebeno". Ĉar vektorspacoj estas grava ilo en multaj branĉoj de la matematiko, lineara algebro estas unu el la bazoj de matematiko.

Lineara algebro estas vaste uzata en abstrakta algebro, funkcia analizo kaj analitika geometrio. Lineara algebro estas uzata ankaŭ en informadiko kaj komputoscienco. Ekster la pura matematiko, lineara algebro estas uzata precipe en natursciencoj, sociosciencoj, inĝenierarto kaj ekonomiko (por optimumigo).

Historio

La proceduro por solvi sistemon de linearaj ekvacioj, kiu nun estas nomata Gaŭsa eliminado, aperis jam en la antikva ĉina matematika teksto, nome Sistemo de linearaj ekvacioj, en la oka ĉapitro Ortangulaj matricoj de Naŭ ĉapitroj pri matematika arto de Jiuĵang Suanŝu. Ĝia uzado klariĝas en dekok problemoj pri po du ĝis kvin ekvacioj.

René Descartes (Kartezio) evoluigis la kartezian koordinatsistemon (nomitan laŭ li) en 1637.

Unu el la fundamentoj de lineara algebro estis metita fare de René Descartes, kiu en 1637 evoluigis la kartezian koordinatsistemon (nomitan laŭ li) por priskribi la ebenon kaj uzis ĝin en la kadro de analitika geometrio por trakti problemojn de klasika geometrio. Por marki punkton sur ebeno li uzis ordigitan duopon da nombroj.

Alia fundamento de lineara algebro estis metita fare de Gottfried Wilhelm Leibniz, kiu uzis la koncepton determinanto por solvi sistemojn de ekvacioj en 1693. Poste, en 1750, Gabriel Kramer evoluigis formulon por kalkuli la solvon de sistemo de ekvacioj, nomitan Formuloj de Kramero. Poste, Carl Friedrich Gauss uzis la metodon de gaŭsa eliminado por solvi sistemojn de ekvacioj, el kio rezultis granda progreso por geodezio.

Moderna lineara algebro komenciĝis en 1843 kaj 1844. En 1843 William Rowan Hamilton (kiu elpensis la terminon "vektoro" en ĝia algebra kunteksto) malkovris la algebron de kvaternionoj. En 1844 Hermann Günther Grassmann publikigis sian libron pri lineara algebro, Die Ausdehnungslehre. En 1848, James Joseph Sylvester lanĉis la terminon matrico, kiu estas la latina vorto por utero. En 1857 Arthur Cayley difinis la matricon; tiun difinon oni uzas ekde tiam ĝis hodiaŭ; ĝi estas unu el la bazŝtonoj de lineara algebro.

Malgraŭ tiuj historiaj evoluoj, lineara algebro, kian ni konas hodiaŭ, estis evoluigita plejparte en la 20-a jarcento.

La unuan modernan kaj pli ekzaktan difinon de vektora spaco enkondukis Peano en 1888, kaj ĝis 1900 formiĝis teorio de linearaj transformoj de vektoraj spacoj de finia dimensio. Lineara algebro prenis sian modernan formon en la unua duono de la dudeka jarcento, kiam multaj ideoj kaj metodoj de antaŭaj jarcentoj estis ĝeneraligitaj kiel abstrakta algebro. La evoluo de komputiloj kondukis al pliigita esplorado en efikaj algoritmoj por gaŭsa elimino kaj malkomponado de matricoj, kaj lineara algebro iĝis esenca ilo por modelado kaj simulaĵoj.

Ĝeneralaj konceptoj

Vektoraj spacoj

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Vektora spaco.

En abstrakta algebro, vektora spaco (ankaŭ nomata lineara spaco) $V$ super kampo $K$ estas algebra strukturo kreita de nemalplena aro, kun du operacioj (unu interna, la alia ekstera) kaj 8 fundamentaj ecoj. Oni uzas notacion + (vektora adicio) por la interna operacio, $V\times V\rightarrow V,(x,y)\mapsto x+y$ kaj $\cdot$ (skalara multipliko) por la ekstera operacio $K\times V\rightarrow V,(\alpha ,x)\mapsto \alpha \cdot x$.

La triopo $(V,+,\cdot )$ estas vektora spaco super $K$, se validas la sekvaj aksiomoj:

• $(V,+)$ estas komuta grupo
• $\forall x\in V:1\cdot x=x$, kie 1 estas la neŭtra elemento de $K$
• $\forall \alpha \in K,\forall (x,y)\in V\times V:\alpha \cdot (x+y)=\alpha \cdot x+\alpha \cdot y$
• $\forall (\alpha ,\beta )\in K\times K,\forall x\in V:(\alpha +\beta )\cdot x=\alpha \cdot x+\beta \cdot x$
• $\forall (\alpha ,\beta )\in K\times K,\forall x\in V,(\alpha \beta )\cdot x=\alpha \cdot (\beta \cdot x)$

Matricoj

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Matrico.

Matrico estas ortangula tabelo kun datenoj nomataj elementoj aŭ koeficientoj. Difinita sur aro da matricoj, algebra strukturo ebligas fari algebrajn operaciojn per matricoj. Plej ofte, koeficientoj de matrico estas elementoj de ia kampo aŭ ringo, sed ĝenerale sufiĉas duonringo aŭ eĉ pli ĝenerala tipo de algebra strukturo, kies elementojn eblas adicii kaj multipliki. Matricoj estas uzataj por priskribi sistemojn de linearaj ekvacioj kaj linearajn transformojn.

Kvadrataj matricoj

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Kvadrata matrico.

En lineara algebro, kvadrata matrico estas matrico kies ambaŭ dimensioj estas la samaj, do m-oble-n matrico kun m = n.

Kvadrataj matricoj havas iujn propraĵojn, kiujn ne havas ne-kvadrataj matricoj:

• Produto de n-oble-n matrico A kaj n-dimensia vektoro x, Ax, havas la saman dimension n kiel vektoro x. Do, ĉi tia multipliko difinas linearan transformon el vektora spaco en la saman vektoran spacon.
• Ekzistas matrica produto de iu ajn kvanto de n-oble-n matricoj en iu ajn ordo. Tamen la produto povas dependi de la ordo de la multiplikataj matricoj.
• Transponita kaj konjugita transponita de kvadrata matrico estas kvadrataj matricoj de la sama amplekso.

Determinantoj

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Determinanto.

En lineara algebro, determinanto estas funkcio kiu asociigas skalaron det(A) al ĉiu n×n kvadrata matrico A. La fundamenta geometria signifo de determinanto estas kiel la skala faktoro por volumeno se A estas konsiderita kiel lineara transformo. Por ĉiu pozitiva entjero n, estas unika determinanta funkcio por la n×n matricoj super ĉiu komuta ringo R. Aparte, ĉi tiu funkcio ekzistas kiam R estas la kampo de reelaj aŭ kompleksaj nombroj. Determinanto de A estas ankaŭ iam skribita kiel |A|, sed ĉi tiu skribmaniero estas ambigua: ĝi estas ankaŭ uzata por matricaj normoj, kaj por la kvadrata radiko de ${AA}^{*}$.

Linearaj sistemoj

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Sistemo de linearaj ekvacioj.

Sistemo de linearaj ekvacioj estas sistemo de ekvacioj, en kiu estas laŭvola nombro de linearaj ekvacioj kaj samtempe ne estas nelinearaj ekvacioj.

Se estas $m$ ekvacioj, en kiuj estas $n$ variabloj $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$, tiam oni povas prezenti en formo:

${\begin{cases}{\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+&a_{12}x_{2}&+&a_{13}x_{3}&+&\dots &+&a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}&+&a_{22}x_{2}&+&a_{23}x_{3}&+&\dots &+&a_{2n}x_{n}&=b_{2}\\a_{31}x_{1}&+&a_{32}x_{2}&+&a_{33}x_{3}&+&\dots &+&a_{3n}x_{n}&=b_{3}\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\ddots &&\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}&+&a_{m2}x_{2}&+&a_{m3}x_{3}&+&\dots &+&a_{mn}x_{n}&=b_{m}\end{matrix}}\end{cases}}$

La skalaroj $a_{ij}$ nomiĝas koeficientoj de sistemo, la skalaroj $b_{i}$ nomiĝas liberaj elementoj.

Solvo de sistemo de ekvacioj nomiĝas laŭvola opo de $n$ elementoj $r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}$ de kampo $K$, kiuj, substituite por $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$, donas verajn ekvaciojn.

Vidu ankaŭ

• Kampo
• Vektora spaco
• Lineara funkcio
• Lineara sistemo (aŭtomata regado)
• Lineara programado
• Lineara regreso
• Nombra (aplikita) lineara algebro

Eksteraj ligiloj

• Matthias, Ulrich. (1995-10) Fundamentoj de lineara algebro (esperante). Neckarhausen: Eldonita de la aŭtoro.

Referencoj

Bibliografio

• Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (5a eldono), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0.
• Axler, Sheldon (2015), Linear Algebra Done Right, Undergraduate Texts in Mathematics (3a eldono), Springer Publishing, ISBN 978-3-319-11079-0.
• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Company, ISBN 0-395-14017-X.
• Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (1993), Numerical Analysis (5a eldono), Boston: Prindle, Weber and Schmidt, ISBN 0-534-93219-3.
• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations, Johns Hopkins Studies in Mathematical Sciences (3a eldono), Baltimore: Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-5414-9.
• Halmos, Paul Richard (1974), Finite-Dimensional Vector Spaces, Undergraduate Texts in Mathematics (1958 2a eldono), Springer Publishing, ISBN 0-387-90093-4.
• Harper, Charlie (1976), Introduction to Mathematical Physics, New Jersey: Prentice-Hall, ISBN 0-13-487538-9.
• Katznelson, Yitzhak; Katznelson, Yonatan R. (2008), A (Terse) Introduction to Linear Algebra, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4419-9.
• Roman, Steven (22a de marto 2005), Advanced Linear Algebra, Graduate Texts in Mathematics (2a eldono), Springer, ISBN 978-0-387-24766-3.