En grupa teorio , grupa homomorfio estas homomorfio inter grupoj , t.e. funkcio kiu konservas la algebran strukturon de grupoj (multipliko, inverso, unuo).
Se
G
{\displaystyle G}
H
{\displaystyle H}
grupoj , do grupa homomorfio de
G
{\displaystyle G}
H
{\displaystyle H}
funkcio
f
:
G
→
H
{\displaystyle f\colon G\to H}
Por ajnaj elementoj
g
,
g
′
∈
G
{\displaystyle g,g'\in G}
f
(
g
⋅
g
′
)
=
f
(
g
)
⋅
f
(
g
′
)
{\displaystyle f(g\cdot g')=f(g)\cdot f(g')}
Tio implicas ke la aliaj strukturoj de la grupo (inverso, unuo) estas ankaŭ konservataj de la funkcio:
f
(
g
)
=
f
(
1
G
⋅
g
)
=
f
(
1
G
)
⋅
f
(
g
)
{\displaystyle f(g)=f(1_{G}\cdot g)=f(1_{G})\cdot f(g)}
f
(
1
G
)
=
1
H
{\displaystyle f(1_{G})=1_{H}}
1
H
=
f
(
1
G
)
=
f
(
g
⋅
g
−
1
)
=
f
(
g
)
⋅
f
(
g
−
1
)
{\displaystyle 1_{H}=f(1_{G})=f(g\cdot g^{-1})=f(g)\cdot f(g^{-1})}
f
(
g
−
1
)
=
f
(
g
)
−
1
{\displaystyle f(g^{-1})=f(g)^{-1}}
La funkcio
C
→
C
∗
,
z
↦
e
z
{\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} ^{*},\,z\mapsto \mathrm {e} ^{z}}
e
z
+
z
′
=
e
z
×
e
z
′
{\displaystyle \mathrm {e} ^{z+z'}=\mathrm {e} ^{z}\times \mathrm {e} ^{z'}}
(
C
,
+
)
{\displaystyle (\mathbb {C} ,+)}
(
C
∗
,
×
)
{\displaystyle (\mathbb {C} ^{*},\times )}
La funkcio
Z
→
Z
/
n
Z
,
x
↦
x
mod
n
{\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,\,x\mapsto x\mod n}
(
Z
,
+
)
{\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}
(
Z
/
n
Z
,
+
)
{\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+)}
