Grupo (algebro)

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Salti al navigilo Salti al serĉilo

Grupo estas grava ĉefkoncepto de matematiko, unu el algebraj strukturoj.

Teorio de Grupoj[redakti | redakti fonton]

La teorio de grupoj aŭ grupoteorio studas en ĝenerala formo operaciojn, kiuj plej ofte uzatas en matematiko kaj ĝiaj branĉoj, ekz-e adicio de nombroj, adicio de vektoroj, konsekvenca plenumo de transformoj ktp. Samtempe, teorio de grupoj studas ne arbitrajn operaciojn, sed nur tiajn, kiuj havas kelkajn ecojn, kiujn inkluzivas la difino de grupo.

Formala difino[redakti | redakti fonton]

Grupo (G,•) estas nemalplena aro G kune kun tia interna duvalenta operacio •, t.e. por ĉiuj du elementoj a kaj b el G estas difinita iu elemento a • b ankaŭ el G, ke

  1. (a • b) • c = a • (b • c), por ĉiuj a, b, c ∈ G;
  2. en G ekzistas elemento e, nomata neŭtrala elemento kaj por kiu a • e = e • a = a, por ajna a ∈ G;
  3. por ajna elemento a ∈ G ekzistas tia elemento a⁻¹ (inversa al a), a • a⁻¹ = a⁻¹ • a = e.


Ekzemplo
se ℤ estas aro de ĉiuj entjeroj, kaj operacio sur ℤ estas simpla operacio de adicio, tiam la aro ℤ estas grupo. La rolon de neŭtrala elemento plenumas nombro 0 kaj la rolon de inversa elemento por z - nombro −z.

La parto H de la aro ℤ, konsistanta el ĉiuj paraj nombroj, mem estas grupo rilate al la sama operacio. En tiu kazo, oni diras ke H estas subgrupo de la grupo ℤ. Ambaŭ grupoj ℤ kaj H kontentigas la suplementan kondiĉon : a + b = b + a por ajnaj a kaj b el la grupo.

La koncepto «grupo» rolis kiel modelo por transformo de algebro kaj ĝenerale de matematiko ĉe la limo inter la 19–a kaj ka 20-a jarcentoj. La fonton de origino de la nocio «grupo», oni trovas en kelkaj disciplinoj: teorio pri solvado de algebraj ekvacioj (Joseph-Louis de Lagrange, A.Vandermonde, P.Ruffini), geometrio (August Ferdinand Möbius, Felix Klein), nombroteorio (Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss).

Teorio de grupoj havas kelkajn gravajn fakojn: teorio de finiaj grupoj, teorio de abelaj (t.e. komutaj) grupoj, teorio de reprezentoj de grupoj kaj aliaj.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Group diagram d6.svg


Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]