Grupo (algebro)

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

Grupo estas grava ĉefkoncepto de matematiko, unu el algebraj strukturoj.

Teorio de Grupoj[redakti | redakti fonton]

La teorio de grupoj studas en ĝenerala formo operaciojn, kiuj plej ofte uzatas en matematiko kaj ĝiaj branĉoj, ekz-e adicio de nombroj, adicio de vektoroj, konsekvenca plenumo de transformoj ktp. Samtempe, teorio de grupoj studas ne arbitrajn operaciojn, sed nur tiujn, kiuj havas kelkajn ĉefproprecojn, vicigitajn en la determino de grupo.

Formala difino[redakti | redakti fonton]

(G,•) estas grupo se

G estas nemalplena aro, sur kiu estas donita duargumenta operacio •, t.e. por ĉiuj du elementoj a kaj b el G estas difinita iu elemento a • b ankaŭ el G, tia ke
  1. (a • b) • c = a • (b • c), por ĉiuj a, b, c ∈ G;
  2. en G ekzistas elemento e, nomita unuo kaj por kiu a • e = e • a = a, por ajna a ∈ G;
  3. por ajna elemento a ∈ G ekzistas tia elemento a⁻¹ (inversa al a), a • a⁻¹ = a⁻¹ • a = e,
tiam la aro G kun difinita sur ĝi operacio , estas nomita Grupo.
Ekzemplo
se ℤ estas aro de ĉiuj entjeroj, kaj operacio sur ℤ - simpla operacio de adicio, tiam la aro ℤ estas grupo. La rolon de e plenumas nombro 0 kaj la rolon de inversa elemento por z - nombro −z.

La parto H de la aro ℤ, konsistanta de paraj nombroj, mem estas grupo rilate de la sama operacio. En tiu kazo, oni diras ke H estas subgrupo de la grupo ℤ. Ambaŭ grupoj ℤ kaj H kontentigas la suplementan kondiĉon : a + b = b + a por ajna a kaj b el grupo.

La koncepto « grupo » rolis kiel modelo por transformoj de algebro kaj ĝenerale de matematiko ĉe la limoj de 19–20 jarcentoj. La fonto de origino de la nocio « grupo », oni trovas en kelkaj disciplinoj : teorio de solvo de algebraj ekvacioj (Joseph-Louis de Lagrange, A.Vandermonde, P.Ruffini), geometrio (August Ferdinand Möbius, Felix Klein), nombroteorio (Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss).

Teorio de Grupoj havas kelkaj gravajn fakojn : teorio de finiaj grupoj, teorio de abelaj grupoj, teorio de reprezentoj de grupoj kaj ceteraj.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Group diagram d6.svg


Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]