Modulo (algebro)

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Salti al navigilo Salti al serĉilo

En abstrakta algebro, la nocio modulo super ringo estas komuna ĝeneraligo de du plej gravaj nocioj en algebro, vektora spaco, kaj komuta grupo.

Difino[redakti | redakti fonton]

Maldekstra R-modulo super la ringo R konsistas el komuta grupo (M, +) kaj operacio R × MM (nomata skalara multipliko, kutime skribata kiel rx por r en R kaj x en M) tia, ke

por ĉiuj r,s en R, x,y en M:

  1. r(x+y) = rx+ry
  2. (r+s)x = rx+s x
  3. (rs)x = r(s x)
  4. 1x = x

Kutime, oni simple skribas "maldekstra R-modulo M" aŭ RM. Dekstra R-modulo MMR estas difinita simile, sed la ringo operacias dekstre, kio signifas, ke la skalara multipliko estas de formo M × RM, kaj la pli supraj aksiomoj estas skribitaj kun skalaroj r kaj s dekstre de x kaj y.


Dumoduloduflanka modulo estas modulo, kiu estas samtempe maldekstra modulo kaj dekstra modulo.

Se R estas komuta, tiam la maldekstraj R-moduloj estas esence la samo kiel dekstraj R-moduloj kaj estas nomataj simple R-moduloj.

Ekzemploj[redakti | redakti fonton]

  • Se K estas kampo, tiam nocioj "K-vektora spaco" kaj K-modulo estas identaj.
  • La koncepto de Z-modulo estas ekvivalenta al la nocio de komuta grupo. Tio estas, ke ĉiu komuta grupo estas modulo super la ringo de entjeroj Z en triviala maniero. Por n > 0, estu nx = x + x + … + x (n termoj), 0x = 0, kaj (−n)x = −(nx).
  • Se R estas iu ringo kaj n estas natura nombro, do la kartezia produto Rn estas ambaŭ maldekstra kaj dekstra moduloj super R se oni uzi la laŭkomponantaj operacioj. De ĉi tie kiam n=1, R estas R-modulo, kie la skalara multipliko estas la ringa multipliko. La okazo n=0 rendimentas al la bagatela R-modulo {0} konsistanta nur de ĝia identa ero. Moduloj de ĉi tiu tipo estas nomitaj kiel liberaj kaj la nombro n estas tiam la rango de la libera modulo.
  • Se S estas nemalplena aro, M estas maldekstra R-modulo, kaj MS estas kolekto de ĉiuj funkcioj f : SM, tiam kun aldono kaj skalara multipliko en MS difinita per (f + g)(s) = f(s) + g(s) kaj (_rf_)(s) = _rf_(s), MS estas maldekstra R-modulo. La okazo de dekstra R-modulo estas analoga. Aparte, se R estas komuta tiam la kolekto de R-modulaj homomorfioj h : MN (vidi pli sube) estas R-modulo (kaj fakte submodulo de NM).
  • Se X estas glata sternaĵo, tiam la glataj funkcioj de X al la reela nombra formas ringon C(X). La aro de ĉiuj glataj vektoraj kampoj difinitaj sur X formas modulon super C(X), kaj do faras la tensorajn kampojn kaj la diferencialajn formojn sur X.
  • La kvadrataj n-per-n matricoj kun reelaj elementoj formas ringon R, kaj la eŭklida spaco Rn estas maldekstra modulo super ĉi tiu ringo se oni difinas la modula operacio tra matrica multipliko.
  • Se R estas iu ringo kaj I estas iu maldekstra idealo de R, tiam I estas maldekstra modulo super R. Tute analoge dekstraj idealoj estas dekstraj moduloj.

Tipoj de moduloj[redakti | redakti fonton]

  • La nula modulo {0}.
  • Finie generita. Modulo M estas finie generita, se en ĝi ekzistas finie multaj elementoj x1,…,xn tiaj, ke ĉiu elemento de M estas lineara kombinaĵo de tiuj elementoj kun koeficientoj de la skalara ringo R.
  • Cikla modulo. Oni nomas modulon cikla modulo, se ĝi estas generebla per unu elemento.
  • Libera. Libera modulo estas modulo kiu havas bazon, aŭ ekvivalente, ĝi estas izomorfia al direkta sumo de kopioj de la skalara ringo R. Ĉi tiuj moduloj similas al vektoraj spacoj.
  • Projekcia modulo estas tia modulo , ke ekzistas modulo , por kiu estas libera modulo.
  • Injekcia modulo estas tia modulo , ke se estas submodulo de modulo , tiam por iu alia submodulo de .
  • Simpla modulo estas ĉia modulo, kiu havas precize du submodulojn: {0} kaj sin mem. Tia difino interalie implicas, ke la nul-modulon oni ne konsideras simpla. Simplajn modulojn oni foje nomas neredukteblaj.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]