Lineara kombinaĵo

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En matematiko, lineara kombinaĵo estas koncepto centra en lineara algebro kaj rilatantaj kampoj de matematiko. La plejparto de ĉi tiu artikolo estas pri linearaj kombinaĵoj en la ĉirkaŭteksto de vektora spaco super korpo.

Difino[redakti | redakti fonton]

Estu K - korpo kaj V - vektora spaco super K. La eroj de V estu nomataj vektoroj, la eroj de K skalaroj. Se v1,…,vn estas vektoroj kaj a1,…,an estas skalaroj, tiam la lineara kombinaĵo de ĉi tiuj vektoroj kun ĉi tiuj skalaroj kiel koeficientoj estas

a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3 + \cdots + a_n v_n \,

En donita situacio, K kaj V povas esti precizigitaj aparte aŭ esti evidentaj de la ĉirkaŭteksto.

Notu ke laŭ la difino, lineara kombinaĵo enhavas nur finie multajn vektorojn (escepte kiel priskribite en ĝeneraligoj pli sube). Tamen, la aro V, el kiu la vektoroj estas prenitaj, povas esti malfinia; tamen ĉiu aparta lineara kombinaĵo nur enhavas finie multajn vektorojn. Ankaŭ, n povas esti nulo; en ĉi tiu okazo oni deklaras ke la rezulto de la lineara kombinaĵo estas la nula vektoro en V.

Ekzemploj[redakti | redakti fonton]

Analitika geometrio[redakti | redakti fonton]

Estu kampo K - la aro R de reelaj nombroj, kaj estu la vektora spaco V - la eŭklida spaco R3. Konsideru la vektorojn e1 := (1,0,0), e2 = (0,1,0) kaj e3 = (0,0,1). Tiam ĉiu vektoro en R3 estas lineara kombinaĵo de e1, e2 kaj e3.

Por vidi ĉi tion oni, prenu iun ajn vektoron(a1,a2,a3) en R3, do:

 ( a_1 , a_2 , a_3) = ( a_1 ,0,0) + (0, a_2 ,0) + (0,0, a_3) \,
 = a_1 (1,0,0) + a_2 (0,1,0) + a_3 (0,0,1) \,
 = a_1 e_1 + a_2 e_2 + a_3 e_3 \,


Ĝeneraligoj[redakti | redakti fonton]

Se V estas topologia vektora spaco, tiam tie povas esti vojo fari sencon de certa malfinia lineara kombinaĵo, uzante la topologion de V. Ekzemple, oni povus kapabli paroli de a1v1 + a2v2 + a3v3 + …, ĝis malfinio. Ĉi tiaj malfiniaj linearaj kombinaĵoj ne ĉiam havas sencon; oni nomas ilin konverĝajn se la senco estas.