Saltu al enhavo

Kvaterniono

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Multiplika Tabulo de Kvaternionoj
↓ × → 1 i j k
1 1 i j k
i i −1 k j
j j k −1 i
k k j i −1

In matematiko, la kvaterniona nombrosistemo etendas la kompleksajn nombrojn. La kvaternionoj unue estis priskribita de la irlanda matematisto William Rowan Hamilton en 1843[1][2] kiel rimedo por reprezenti la grupon de turnadoj de tri-dimensia spaco.

La multipliko de kvaternionoj estas nekomuta.

La kvaternionoj ĝenerale estas representataj per la esprimo

kie a, b, c, kaj d estas reelaj nombroj; kaj 1, i, j, kaj k estas la normaj (kaj normalaj) kvaternionaj bazaj vektoroj.[3]

La kvaternionoj povas esti uzata kun aliaj reprezentoj de tri-dimensiaj turnadoj, ekzemple anguloj de Eŭler kaj matricoj de turnado, aŭ sole, depende de la aplikaĵo.

Multiplika tabulo
× 1 i j k
1 1 i j k
i i −1 k j
j j k −1 i
k k j i −1
Nekomuteco estas emfazita per koloritaj kvadratoj.

Kvaterniono estas reprezentita per esprimo kun formo aŭ, egale,

kie estas reela nombroj, kaj i, j, k, estas simboloj, kiuj reprezentas unuvektoroj, kie ĉiuj estas ortaj unu al la aliaj. Kutime, se unu el a, b, c, d estas nulo, la termino de la responda komponento estas ellasita; se ĉiuj estas nulo, la kvaterniono estas la nula kvaterniono, skribata kiel ; se unu el b, c, d egalas 1, la responda termino estas skribata kiel nur i, j, aŭ k.

La aro de kvaternionoj estas 4-dimensia vektora spaco sur la reelaj nombroj, kun kiel bazo kun po-komponenta adicio.

kaj po-komponenta multipliko

La multiplika grupstrukturo (indikata per apudmeto), estas difinita sur la kvaternionoj tiel:

  • La reela kvaterniono 1 estas la neŭtrala elemento.
  • La reelaj kvaternionoj komutas kun ĉiuj aliaj kvaternionoj. Tio estas, r q = q r por ĉiu kvaterniono q kaj ĉiu reela kvaterniono r.
  • La produkto estas difinita por la bazaj elementoj, kaj tiam estas etendigita al ĉiuj kvaternionoj per la distribua proprieto. La produkto ne estas komuta, sed estas asocia, do la kvaternionoj formas asocian algebron sur la reeloj.
  • Krome, ĉiu nenula kvaterniono havas inverson:

Do la kvaternionoj formas dividan algebron.

Kvaternionoj kiel turnadoj

[redakti | redakti fonton]
3D vidigo de sfero kaj turnado ĉirkaŭ Eŭlera akso () tra angulo de

En tri-dimensia spaco, laŭ la Turnado Teoremo de Eŭlero, kiu ajn turnado aŭ sekvenco de turnadoj de rigida korpo ĉirkaŭ fiksata punkto egalas unu turnado tra angulo ĉirkaŭ fiksata akso (nomata la Eŭlera akso), kiu enhavas la fiksatan punkton. [4] La Eŭlera akso estas kutime reprezentata per unuvektoro  ( en la jena bildo). Tial, ajna turnado en tri-dimensioj povas esti reprezentata kiel vectoro kaj angulo .

Kvaternionoj prezentas simplan metodon enkodi tiun reprezenton [5] kiel akso kaj angulo per kvar reelaj nombroj, kaj povas esti uzata por apliki (kalkuki) la respondan turnadon al situa vektoro (x,y,z), reprezentas punkto relative al la origino en tri-dimensia Kartezia spaco, skribata kiel R3.

Kartezia vectoro, ekzemple (2, 3, 4), povas esti reskribita kiel 2 i + 3 j + 4 k, kie i, j, k estas la bazaj unukvaternionoj, kiuj tie ĉi korespondas al la tri-dimensiajn Karteziajn aksojn (tradicie nomiĝatajn x, y, z), kun la multiplikaj reguloj de la kvaternionoj. Do la "kvaterniona interpretado" de la Kartezian vektoron (ux, uy, uz) estas (0, ux, uy, uz). Tio estas "pura kvaterniono", kiu signifas, ke ĝi havas neniom reelan parton.

Kiel reprezenti turnadon per kvaronjono? Se ni reprezentas la turnadan akson kiel la unukvaterniono u = (0, ux, uy, uz), kaj la punkto kiel p = (0, px, py, pz), do la (kvarterniona interpretado de la) rezulto de la turnado de la punkto tra angulo ĉirkaŭ u estas

kie

Oni povas montri, ke la skalara komponanto de la rezulto r necese estas nulo. Estas ankaŭ montrebla, ke du turnadaj kvaternionoj povas esti kombinataj en unu kvaternionon per la esprimo , kie q korespondas al la turnado q1 sekvita de la turnado q2. Tiel, multaj turnadoj povas esti kombinataj kune, kaj tiam aplikataj kiel unu turnado.

Vidu ankaŭ

[redakti | redakti fonton]

Referencoj

[redakti | redakti fonton]
  1. (17 October 1843) “On Quaternions; or on a new System of Imaginaries in Algebra”, Letter to John T. Graves. 
  2. Rozenfelʹd, Boris Abramovich. (1988) The history of non-euclidean geometry: Evolution of the concept of a geometric space. Springer. ISBN 9780387964584.
  3. Curtis, Morton L. (1984), Matrix Groups (2nd ed.), New York: Springer-Verlag, p. 10, (ISBN 978-0-387-96074-6) 
  4. Euclidean and non-Euclidean Geometry. Patrick J. Ryan, Cambridge University Press, Cambridge, 1987.
  5. I.L. Kantor. Hypercomplex numbers, Springer-Verlag, New York, 1989.