Transpono

Ĉi tiu artikolo temas pri matematika termino por operacio kun matricoj. Por muzika termino rigardu la paĝon Transponado (muziko).

En lineara algebro la transponaĵo de matrico A estas matrico A^T kreita per iu ajn unu el la sekvaj ekvivalentaj agoj:

skribi liniojn de A kiel kolumnojn de A^T
skribi kolumnojn de A kiel liniojn de A^T
reflekti la matricon A tra ĝia ĉefdiagonalo (kiu startas de la supro maldekstro)

La transponaĵo de m × n-matrico A estas n × m-matrico. La prozeco trovi la transponaĵon de matrico nomiĝas transpono.

\mathbf {A} _{ij}^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} _{ji}

por

1\leq i\leq n,

1\leq j\leq m.

Ekzemploj

${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}.$

${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}.\;$

Por matricoj A, B kaj skalaro c estas jenaj propraĵoj de transpono:

(A^T)^T = A
(A+B)^T = A^T+B^T
kvadrata matrico A estas inversigebla se kaj nur se A^T estas inversigebla, kaj en ĉi tiu okazo
(A⁻¹)^T = (A^T)⁻¹.
(AB)^T = B^TA^T
(cA)^T = c(A^T)
La determinanto de matrico estas la sama kiel de ĝia transpono.
det(A^T) = det(A)
La skalara produto de du kolumnaj vektoroj a kaj b estas
a·b = a^Tb
Se A havas nur reelajn elementojn, tiam A^TA estas pozitivo-duondifina matrico.
Se A estas kvadrata matrico, tiam ĝia ajgenoj estas egalaj al ajgenoj de ĝia transpono

Kvadrata matrico, kies transponaĵo estas egala al ĝi mem, A^T = A, estas simetria matrico.

Kvadrata matrico, kies transponaĵo estas egala al ĝia inverso, A^T = A⁻¹, estas orta matrico.

Kvadrata matrico, kies transponaĵo estas egala al ĝia negativo, A^T = -A, estas kontraŭsimetria matrico.

La konjugita transpono de la kompleksa matrico A, skribata kiel A^*, estas ricevata per preno de transpono de A kaj anstataŭigo de ĉiu elemento per ĝia kompleksa konjugito:

\mathbf {A} ^{*}=({\overline {\mathbf {A} }})^{\mathrm {T} }={\overline {(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })}}

.

En komputilo oni povas ofte ne movi elementojn de la matrico en memoro sed simple konsideri ke la datumoj estas konservitaj en malsama ordo.

Tamen, iam bezonatas reale reordigi matricon en memoro por transpono. Tiam povas esti diversaj okazoj:

Se la transponita matrico situu en la alia loko en la memoro, la operacio estas bagatela.
Se la transponita matrico situu en la sama loko en la memoro:
- Se la matrico estas kvadrata, la operacio estas bagatela.
- Se la matrico estas ne kvadrata, la operacio estas sufiĉe malsimpla. Ideale, oni povus esperi transponi matricon kun uzo de minimuma kvanto de aldona memoro. Ĉi tio kondukas al la problemo de transpono de n × m-matrico en-loke, kun O(1) da aldona memoro aŭ maksimume kun kvanto de memoro multe malpli granda ol mn. Por n≠m, ĉi tio engaĝas komplikajn permutojn de la datumoj, kio estas ne-bagatele realigebla en-loke. Pro tio kompetentaj algoritmoj de en-loka matrica transpono estas temo de multaj esploroj, kaj kelkaj algoritmoj estas ellaboritaj.

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo En-loka matrica transpono.

Transpono je MathWorld
Transpono Arkivigite je 2016-03-08 per la retarkivo Wayback Machine je Planetmath