El Vikipedio, la libera enciklopedio
Ĉi tiu artikolo temas pri operacio sur du vektoroj kies rezulto estas skalaro. Por operacio sur skalaro kaj vektoro rigardu la paĝon Skalara multipliko .
Skalara produto aŭ punkta produto de du vektoroj
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
a
⋅
b
,
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \;,}
kaj ĝi estas
|
a
|
|
b
|
cos
θ
{\displaystyle |\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos \theta }
kie
θ
{\displaystyle \theta }
angulo inter la vektoroj
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
b
,
{\displaystyle \mathbf {b} ,}
|
a
|
{\displaystyle |\mathbf {a} |}
|
b
|
{\displaystyle |\mathbf {b} |}
normoj (aŭ absolutaj valoroj ) de tiuj konsiderataj vektoroj. La rezulto estas reela nombro .
Se ambaŭ vektoroj estas ne nulaj, skalara produto estas pozitiva se θ<π/2 , egalas al 0 se θ=π/2 , kaj negativa se θ>π/2 (ĉiam 0≤θ≤π ).
Skalara produto estas funkcio
f
:
E
×
E
→
R
,
{\displaystyle f:E\times E\rightarrow R\,,}
E
{\displaystyle E\ }
reela vektor-spaco kaj por kiu validas ĉi tiujn proprecojn :
∀
x
∈
E
:
f
(
x
,
x
)
≥
0
{\displaystyle \forall x\in E:f(x,x)\geq 0}
∀
x
∈
E
:
f
(
x
,
x
)
=
0
⟺
x
=
0
{\displaystyle \forall x\in E:f(x,x)=0\iff x=0}
∀
(
x
,
y
)
∈
E
2
:
f
(
x
,
y
)
=
f
(
y
,
x
)
{\displaystyle \forall (x,y)\in E^{2}:f(x,y)=f(y,x)}
∀
(
x
,
y
,
z
)
∈
E
3
,
∀
(
α
,
β
)
∈
R
:
f
(
α
x
+
β
y
,
z
)
=
α
f
(
x
,
z
)
+
β
f
(
y
,
z
)
.
{\displaystyle \forall (x,y,z)\in E^{3},\forall (\alpha ,\beta )\in R:f(\alpha x+\beta y\;,\,z)=\alpha f(x,z)+\beta f(y,z)\;.}
