El Vikipedio, la libera enciklopedio
Kelkaj kompleksaj variabloj estas matematika kampo en kiu oni studas holomorfajn funkciojn en pli ol unu kompleksa dimensio.
Se
U
⊂
C
n
{\displaystyle U\subset {\mathbb {C} }^{n}}
f
:
U
→
C
n
{\displaystyle f\colon U\to {\mathbb {C} }^{n}}
(
z
1
,
z
2
,
…
,
z
n
)
{\displaystyle (z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})}
f
{\displaystyle f}
ξ
↦
f
(
z
1
,
…
,
z
j
−
1
,
ξ
,
z
j
+
1
,
…
,
z
n
)
{\displaystyle \xi \mapsto f(z_{1},\ldots ,z_{j-1},\xi ,z_{j+1},\ldots ,z_{n})}
estas holomorfa kiel funkcio de unu kompleksa variablo por ĉiu
j
{\displaystyle j}
Oni ankaŭ povas difini holomorfan funkcion per parta diferenciala ekvacio . Estu
z
j
=
x
j
+
i
y
j
{\displaystyle z_{j}=x_{j}+iy_{j}}
∂
∂
z
j
=
1
2
(
∂
∂
x
j
−
i
∂
∂
y
j
)
,
kaj
∂
∂
z
¯
j
=
1
2
(
∂
∂
x
j
+
i
∂
∂
y
j
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{j}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{j}}}-i{\frac {\partial }{\partial y_{j}}}\right),\qquad {\text{ kaj }}\qquad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{j}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{j}}}+i{\frac {\partial }{\partial y_{j}}}\right)}
Tiam
f
{\displaystyle f}
estas holomorfa, se la funkcio sekvas la ekvaciojn de Cauchy-Riemann:
∂
∂
z
¯
j
f
=
0
,
por ĉiu
j
=
1
,
2
,
…
,
n
.
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{j}}}f=0,\quad {\text{por ĉiu }}j=1,2,\ldots ,n.}
