El Vikipedio, la libera enciklopedio
La Leibniz-a integrala regulo , aŭ formulo de Leibniz por diferencialado de difinita integralo, estas
d
d
t
∫
a
(
t
)
b
(
t
)
f
(
t
,
x
)
d
x
=
∫
a
(
t
)
b
(
t
)
∂
f
(
t
,
x
)
∂
t
d
x
+
f
(
t
,
b
(
t
)
)
d
b
(
t
)
d
t
−
f
(
t
,
a
(
t
)
)
d
a
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle {d \over dt}\int _{a(t)}^{b(t)}f(t,x)\,dx=\int _{a(t)}^{b(t)}{\partial f(t,x) \over \partial t}\,dx+f(t,b(t)){db(t) \over dt}-f(t,a(t)){da(t) \over dt}.}
(rimarku, ke la randoj de integralado estas funkcioj de t ).
Pruvo de la Leibniz-a integrala regulo Estu
G
=
G
(
t
,
a
,
b
)
=
∫
a
b
f
(
t
,
x
)
d
x
{\displaystyle G=G(t,a,b)=\int _{a}^{b}f(t,x)\,dx}
kie la randoj de integralado A = A (t ) kaj b = b (t ) estas funkcioj de t . La tuteca derivaĵo de G kun respekto al t , en terminoj de partaj derivaĵoj, estas
d
d
t
G
=
∂
G
∂
t
+
∂
G
∂
a
d
a
d
t
+
∂
G
∂
b
d
b
d
t
.
(
1
)
{\displaystyle {d \over dt}G={\partial G \over \partial t}+{\partial G \over \partial a}{da \over dt}+{\partial G \over \partial b}{db \over dt}.\qquad \qquad (1)}
Tiam
∂
G
∂
t
=
∫
a
b
∂
f
∂
t
d
x
,
(
2
)
{\displaystyle {\partial G \over \partial t}=\int _{a}^{b}{\partial f \over \partial t}\,dx,\qquad \qquad (2)}
ĉar integralo estas kontinua sumado, kaj derivado estas lineara operacio,
∂
G
∂
b
=
∂
∂
b
∫
a
b
f
(
t
,
x
)
d
x
=
f
(
t
,
b
)
(
3
)
{\displaystyle {\partial G \over \partial b}={\partial \over \partial b}\int _{a}^{b}f(t,x)\,dx=f(t,b)\qquad \qquad (3)}
pro la fundamenta teoremo de kalkulo , kaj
∂
G
∂
a
=
∂
∂
a
∫
a
b
f
(
t
,
x
)
d
x
=
−
f
(
t
,
a
)
(
4
)
{\displaystyle {\partial G \over \partial a}={\partial \over \partial a}\int _{a}^{b}f(t,x)\,dx=-f(t,a)\qquad \qquad (4)}
denove pro la fundamenta teoremo de kalkulo. Anstataŭigante ekvaciojn (2), (3), kaj (4) en ekvacion (1) oni ricevas la formulon.
