Limiga orda numero

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En aroteorio, limiga orda numero estas orda numero kiu estas ne postanta orda numero. Intuicie, ĉi tiuj estas numeroj kiu ne povas esti atingita tra la orda numera postanta operacio S.

λ estas limiga orda numero se por ĉiu α < λ, S(α) < λ. Alivorte, orda numero estas limiga orda numero se kaj nur se ĝi estas egala al la preciza supra rando de ĉiuj ordaj numeroj pli sube de ĝi. Alivorte, por ĉiu orda numero β < λ, ekzistas orda numero γ tia ke β < γ < λ.

La termino limigo en ĉi tiu ĉirkaŭteksto rilatas al la orda topologio sur la numeroj; limigaj ordaj numeroj respektivas precize al la limigaj punktoj en ĉi tiu topologio.

Estas malsamaj opinioj pri tio ĉu aŭ ne 0 devus esti klasifikita kiel limiga orda numero, ĉar ĝi ne havas antaŭanton. Tamen multaj matematikistoj ekskludas 0 ĉar postulantaj limigaj ordaj numeroj devas esti malfiniaj, sed 0 ne estas malfinia.

Ekzemploj[redakti | redakti fonton]

Ĉar la klaso de numeroj estas bonorda, estas plej malgranda malfinia limiga orda numero; skribata kiel ω. Ĉi tiu orda numero ω estas ankaŭ la plej malgranda malfinia orda numero (malobservante la vorton limigo), ĉar ĝi estas la supremo de la naturaj nombroj. De ĉi tie ω prezentas la ordan tipon de la naturaj nombroj. La sekva limiga orda numero pli supre la unua estas ω + ω = ω2, kaj tiam oni havas ωn por ĉiu natura nombro n. Prenante la union (la precizan supran randan operacion sur ĉiu aro de ordaj numeroj) de ĉiu ωn, oni prenas ωω = ω2 (pli sur orda numera aritmetiko je la ĉefa numera elemento). Ĉi tiu procezo povas esti ripetita kiel sekvas por produkti:

\omega^3, \omega^4, \ldots, \omega^\omega, \omega^{\omega^\omega}, \ldots, \epsilon_0 = \omega^{\omega^{\omega^\ldots}}, \ldots

Ĝenerale, ĉiuj el ĉi tiuj rekursiaj difinoj tra multipliko, potencigo, ripetita potencigo, kaj tiel plu liveras limigajn ordajn numerojn. Ĉiuj el la ordaj numeroj diskutitaj tiel malproksime estas ankoraŭ kalkuleblaj ordaj numeroj; povas esti pruvite ke ekzistas ne rekursia numerigo de ĉiuj kalkuleblaj ordaj numeroj.

Preter la kalkuleblaj, la unua nekalkulebla orda numero estas kutime skribata kiel ω1. Ĝi estas ankaŭ limiga orda numero.

Daŭrante, oni povas ricevi jenajn (kiuj ĉiuj estas nun pligrandiĝantaj je kardinalo):

\omega_2, \omega_3, \ldots, \omega_\omega, \omega_{\omega_\omega},\dots

Ĝenerale, oni ĉiam ricevas limigan ordan numeron kiam prenas la union de aro de ordaj numeroj kiu ne havas maksimuman eron.

Propaĵoj[redakti | redakti fonton]

La klasoj de postantaj ordaj numeroj kaj limigaj ordaj numeroj (kaj ankaŭ nulo, se oni postulas ke limigaj ordaj numeroj esti malfinioj) kune konsistas la tutan klason de ordaj numeroj, tiel ĉi tiuj okazoj estas ofte uzata en pruvoj per transfinia indukto aŭ difinoj per transfinia rekursio. Limigaj ordaj numeroj prezentas speco de "turnopunkto" en ĉi tiaj proceduroj, en kiuj oni devas uzi limigajn operaciojn prenante la union de ĉiuj antaŭvenantaj ordaj numeroj. Principe, oni povas fari ion je limigaj ordaj numeraloj, sed preno de la unio estas kontinua en la orda topologio kaj ĉi tio estas kutime dezirinda.

Se oni uzas la kardinalan asignon de Von Neumann, ĉiu malfinia kardinalo estas ankaŭ limiga orda numero (kaj ĉi tio estas ankaŭ lingva observado, ĉar kardinalo derivas de la latina cardo kun signifo ĉarniro, artikoturnopunkto!): la pruvo de ĉi tiu fakto estas farata per simple montrado ke ĉiu postanta orda numero estas samonumera al limiga orda numero per la hilberta paradokso de la granda hotelo.

Kardinaloj havas ilian proprajn nociojn de sekveco kaj limigo (ĉio okazas en la pli alta nivelo!), vidu en limiga kardinalo.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]