Parametra derivaĵo

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En kalkulo, parametra derivaĵo estas derivaĵo kiu estas kalulata se ambaŭ variabloj x kaj y (sendependa kaj dependa, respektive) dependas de sendependa tria variablo t,.

Ekzemple, konsideru funkciojn

x(t) = 4t^2 \,

kaj

y(t) = 3t. \,

La unua derivaĵo de ili estas:

\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\dot{y}(t)}{\dot{x}(t)},

kie \dot{x}(t) signifas derivaĵon de x de t. Por kompreni kial la derivaĵo aspektas tiamaniere, memoru la ĉenan regulon por derivaĵoj:

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx},

\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}.

Pli formale, per la ĉena regulo:

\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}

kaj dividante ambaŭ flankojn per  \frac{dx}{dt} oni faras la pli supran ekvacion.

Kiam oni diferencialas ambaŭ funkciojn de t, oni finiĝas kun

\frac{dx}{dt} = 8t

kaj

\frac{dy}{dt} = 3,

respektive. Enigante ĉi tion en la formulon por la parametra derivaĵo, oni ricevas la jenon

\frac{dy}{dx} = \frac{\dot{y}}{\dot{x}} = \frac{3}{8t},

kie \dot{x} kaj \dot{y} estas estas funkcioj de t.

La dua derivaĵo de parametra ekvacio estas donita per

\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)
=\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)\cdot\frac{dt}{dx}
= \frac{d}{dt}\left(\frac{\dot{y}}{\dot{x}}\right)\frac{1}{\dot{x}}
= \frac{\dot{x}\ddot{y} - \dot{y}\ddot{x}}{\dot{x}^3}

per uzo de la rilata regulo por derivaĵoj. La lasta rezulto estas utila en la kalkulado de kurbeco.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]