Polinomo de Hermite

Polinomoj de Hermite estas polinomoj kun realaj koeficientoj, kiuj estas difine per rikuraj formuloj:

$H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x)$ $H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x)$

$H_{0}(x)=1$ $H_{0}(x)=1$

$H_{1}(x)=2x$ $H_{1}(x)=2x$

Ĉi tiuj polinomoj estas uzata en priskribo de kvantuma harmonika oscilatoro.

Genera funkcio[redakti | redakti fonton]

Polinomo de Hermite estas koeficientoj apud variablo t en serio de Maclaurin de funkcio $g(x,t)=e^{-t^{2}+2tx}$ $g(x,t)=e^{-t^{2}+2tx}$ , do estas forulo:

$g(x,t)=e^{-t^{2}+2tx}=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}$ $g(x,t)=e^{-t^{2}+2tx}=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}$

Skemoj de polinomoj[redakti | redakti fonton]

Sube estas kvar skemoj de unuaj polinomoj de Hermite:

Atributoj de polinomoj de Hermite[redakti | redakti fonton]

$H_{0}(x)=\left.e^{-t^{2}+2tx}\right|_{t=0}=1$ $H_{0}(x)=\left.e^{-t^{2}+2tx}\right|_{t=0}=1$

$H_{1}(x)=\left.{\frac {d}{dt}}\left(e^{-t^{2}+2tx}\right)\right|_{t=0}=2x$ $H_{1}(x)=\left.{\frac {d}{dt}}\left(e^{-t^{2}+2tx}\right)\right|_{t=0}=2x$
${\frac {dH_{n}(x)}{dx}}=2nH_{n-1}(x)$ ${\frac {dH_{n}(x)}{dx}}=2nH_{n-1}(x)$
$H_{2n}(0)=(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!}}$ $H_{2n}(0)=(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!}}$
$H_{2n+1}(0)=0$ $H_{2n+1}(0)=0$
$H_{n}(-x)=(-1)^{n}H_{n}(x)$ $H_{n}(-x)=(-1)^{n}H_{n}(x)$