Sfera pendolo

Ekzemplo de Hamiltona mekaniko, nome sfera pendolo: anguloj kaj rapidecoj.

Sfera pendolo estas ĝeneraligo de la pendolo. Ĝi konsistas el maso movanta sen frotado sur sfero. La solaj fortoj agantaj al la maso estas la reago de la sfero kaj gravito.

Estas oportune uzi sferajn koordinatojn kaj priskribi la pozicion de la maso en terminoj de $(r,\theta ,\phi )$, kie r estas fiksita.

La lagrange-a estas

$L={\frac {1}{2}}m\left(r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \ {\dot {\phi }}^{2}\right)+mgr\cos \theta .$

La eŭlero-lagrange-aj ekvacioj donas ke

${\frac {d}{dt}}\left(mr^{2}{\dot {\theta }}\right)-mr^{2}\sin \theta \cos \theta {\dot {\phi }}^{2}+mgr\sin \theta =0$

kaj

${\frac {d}{dt}}\left(mr^{2}\sin \theta \,{\dot {\phi }}\right)=0$

montrante ke angula movokvanto estas konservata.