Teoremo de Bernstein

En matematiko, teoremo de Bernstein statas ke ĉiu reelo-valora funkcio sur la duonrekto [0, ∞) kiu estas tutece monotona estas miksaĵo de eksponentaj funkcioj. En unu grava speciala okazo la miksaĵo estas pesita meznombro, aŭ atendata valoro.

Tuteca monotoneco (aŭ plena monotoneco) de funkcio f signifas ke

$(-1)^{n}{d^{n} \over dt^{n}}f(t)\geq 0$

por ĉiu nenegativa entjero n kaj por ĉiu t ≥ 0.

La "pesita meznombro" povas esti karakterizita tiel: estas nenegativa finia borela mezuro sur [0, ∞), kun distribuo g, tia ke

$f(t)=\int _{0}^{\infty }e^{-tx}\,dg(x)$

kie la integralo estas integralo de Rimano-Stieltjes.

En pli abstrakta lingvo, la teoremo karakterizas laplacajn konvertojn de pozitivaj borelaj mezuroj sur [0, ∞). En ĉi tiu formo ĝi estas sciata kiel la teoremo de Bernstein-Widder, aŭ teoremo de Hausdorff-Bernstein-Widder.

Felix Hausdorff pli frue priskribis plene monotonajn vicojn. Ĉi tiuj estas la vicoj okazanta en la momanta problemo de Hausdorff.

Eksteraj ligiloj

• Plene monotonaj funkcioj je MathWorld