Trigonometria konverto de Fourier

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

Trigonometria (sinusa kaj kosinusa) konverto de Fourier estas unu el Fourier-konverto, maluzas kompleksaj nombroj.

Integro[redakti | redakti fonton]

Sinusa konverto de Fourier[redakti | redakti fonton]

Sinusa konverto de Fourier  {\hat f}^s  {\mathcal F}_s(f) de funkcio f(t) egalas

 2 \int\limits_{-\infty}^\infty f(t)\sin\,{2\pi \nu t} \,dt.,
kie
 t  — tempo;
\nu — frekvenco de vibrado.

La funkcio f(t) estas malpara funkcio laŭ \nu, tio estas

^   {\hat f}^s(\nu) = - {\hat f}^s(-\nu) \;\;\;\; \forall \nu.

Kosinusa konverto de Fourier[redakti | redakti fonton]

Kosinusa konverto de Fourier  {\hat f}^c  {\mathcal F}_c (f) de funkcio f(t) egalas

 2 \int\limits_{-\infty}^\infty f(t)\cos\,{2\pi \nu t} \,dt.
kie
 t  — tempo;
\nu — frekvenco de vibraro.

La funkcio f(t) estas para laŭ \nu, tio estas  {\hat f}^s(\nu) =  {\hat f}^s(-\nu) \;\;\;\; \forall \nu.

Inversa sinusa kaj kosinusa konverto de Fourier[redakti | redakti fonton]

Origina funkcio f(t) eltrovas laŭ formulo

 f(t) = \int _0^\infty {\hat f}^c \cos (2\pi \nu t) d\nu + \int _0^\infty {\hat f}^s \sin (2\pi \nu t) d\nu.

Uzas la furmulo por adicio por kosinuso, sciiĝi

 \frac\pi2 (f(x+0)+f(x-0)) = \int _0^\infty \int_{-\infty}^\infty \cos \omega (t-x) f(t) dt d\omega, ,
kie
f(x+0) kaj f(x-0) estas dekstra kaj maldekstre limeto respektive.

Se funkcio f(t) estas para, tiam la ero de formulo kun sinuso turniĝi en nul; se f(t) estas malpara, tiam kosinuso neniiĝas.

Kompleksa konverto[redakti | redakti fonton]

Ofte uzas kampleksa formo de Fourier-konverto:

 \hat f(\nu) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(t) e^{-2\pi i\nu t}\,dt.

Uzas formulo de Eŭlera, sciiĝi, ke

 \hat f(\nu) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(t)(\cos\,{2\pi\nu t} - i\,\sin{2\pi\nu t})\,dt = \int\limits_{-\infty}^\infty f(t)\cos\,{2\pi \nu t} \,dt - i \int\limits_{-\infty}^\infty f(t)\sin\,{2\pi \nu t}\,dt = \frac 12 {\hat f}^c (\nu) - \frac i2 {\hat f}^s (\nu).

Literaturo[redakti | redakti fonton]

  • Whittaker, Edmund, and James Watson, A Course in Modern Analysis, Fourth Edition, Cambridge Univ. Press, 1927, стр. 189, 211