Diskreta spaco

En topologio kaj rilatantaj kampoj de matematiko, diskreta spaco estas aparte simpla ekzemplo de topologia spaco aŭ simila strukturo, unu en kiu la punktoj estas "izolitaj" unu de la aliaj en certa senco.

Difinoj

Por donita aro X:

• La diskreta topologio sur X estas difinita per lasi ĉiun subaron de X esti malfermita, kaj X estas diskreta topologia spaco se ĝi estas provizita kun ĝia diskreta topologio;
• La diskreta uniformeco (samformeco) sur X estas difinita per lasi ĉiun superaron de la diagonalo {(x,x) : x estas en X} en X × X esti akompanantaro, kaj X estas diskreta uniforma spaco se ĝi estas (provizita, ekipita, armita) kun ĝia diskreta samformeco.
• La diskreta metriko sur X estas difinita per lasi la distancon inter iuj ajn klaraj punktoj x kaj y esti , kaj X estas diskreta metrika spaco se ĝi estas (provizita, ekipita, armita) kun ĝia diskreta metriko.

Metrika spaco ( $E$ , $d$ ) estas unuforme diskreta se ekzistas r>0 tia, ke por iu ajn $x,y\in E$, veras x=y aŭ d(x,y)>r. La topologia suba metrika spaco povas esti diskreta, sen ke la metriko estu unuforme diskreta: ekzemple la kutima metriko sur la aro {1, 1/2, 1/4, 1/8, …} de reelaj nombroj.

Propraĵoj

La suba samformeco sur diskreta metrika spaco estas la diskreta samformeco, kaj la suba topologio sur diskreta uniforma spaco estas la diskreta topologio. Tial, la malsamaj nocioj de diskreta spaco estas kongruaj unu kun la alia. Aliflanke, la suba topologio de ne-diskreta uniformo aŭ metrika spaco povas esti diskreta; ekzemplo estas la metrika spaco X := {1/n : n = 1,2,3,…} (kun metriko heredita de la reela linio kaj donita per d(x,y) = |x − y|). Evidente, ĉi tiu estas ne la diskreta metriko; ankaŭ, ĉi tiu spaco estas ne kompleta kaj de ĉi tie ne diskreta kiel uniforma spaco. Tamen, ĝi estas diskreta kiel topologia spaco. Oni diru, ke X estas topologie diskreta, sed ne unuforme diskreta aŭ metrike diskreta.

Cetere:

• Topologia spaco estas diskreta se kaj nur se ĝiaj _singletons_ estas malfermitaj, kio veras se kaj nur se ĝi ne enhavas iujn ajn akumuliĝajn punktojn.
• La unueraj aroj formas bazon por la diskreta topologio.
• Uniforma spaco X estas diskreta se kaj nur se la diagonalo {(x,x) : x estas en X} estas akompanantaro.
• Ĉiu diskreta topologia spaco (verigas, kontentigas) ĉiun el la apartigaj aksiomoj; specife, ĉiu diskreta spaco estas hausdorff-a, tio estas, apartigita.
• Diskreta spaco estas kompakta se kaj nur se ĝi estas finia.
• Ĉiu diskreta uniformo aŭ metrika spaco estas plenumi.
• Kombinante la pli supre du faktojn, ĉiu diskreta uniforma aŭ metrika spaco estas tutece barita se kaj nur se ĝi estas finia.
• Ĉiu diskreta metrika spaco estas barita.
• Ĉiu diskreta spaco estas unua-kalkulebla, kaj diskreta spaco estas dua-kalkulebla se kaj nur se ĝi estas kalkulebla.
• Ĉiu diskreta spaco estas tutece malkonektita.
• Ĉiu ne-malplena diskreta spaco estas dua kategorio.

Iu ajn funkcio de diskreta topologia spaco al alia topologia spaco estas kontinua, kaj iu ajn funkcio de diskreta uniforma spaco al alia uniforma spaco estas unuforme kontinua. Tio estas, la diskreta spaco X estas libera sur la aro X en la kategorio de topologiaj spacoj kaj kontinuaj mapoj aŭ en la kategorio de uniformaj spacoj kaj unuforme kontinuaj mapoj. Ĉi tiuj faktoj estasekzemploj de multa pli larĝa fenomeno, en kiu diskretaj strukturoj estas kutime liberaj sur aroj.

Kun metrikaj spacoj, unuoj estas pli komplikaj, ĉar estas kelkaj kategorioj de metrikaj spacoj, dependaj de kio estas elektita por la strukturkonservantaj transformoj. Certe la diskreta metrika spaco estas libera kiam la strukturkonservantaj transformoj estas ĉiuj unuforme kontinuaj mapoj aŭ ĉiuj kontinuaj mapoj, sed ĉi tio diras nenion interesan pri la metrika strukturo, nur la uniformo aŭ topologia strukturo. Kategorioj pli taŭgaj al la metrika strukturo povas troviĝi per limigi la strukturkonservantaj transformoj al lipschitz-aj kontinuaj mapoj aŭ al mallongaj mapoj; tamen, tiuj kategorioj ne havas liberajn objektojn (sur pli ol unu ero). Tamen, la diskreta metrika spaco estas libera en la kategorio de baritaj metrikaj spacoj kaj Lipschitz-aj kontinuaj mapoj, kaj ĝi estas libera en la kategorio de metrikaj spacoj barita per 1 kaj mallongaj mapoj. Tio estas, iu ajn funkcio de diskreta metrika spaco al alia barita metrika spaco estas Lipschitz-a kontinua, kaj iu ajn funkcio de diskreta metrika spaco al alia metrika spaco barita per 1 estas mallonga.

Al la alia direkto, funkcio f de topologia spaco Y al diskreta spaco X estas kontinua se kaj nur ĝi se estas loke konstanto en la senco, ke ĉiu punkto en Y havas najbaraĵon sur kiu f estas konstanto.

Uzoj

Diskreta strukturo estas ofte uzita kiel la "defaŭlta strukturo" sur aro, kiu ne portas iun ajn alian naturan topologion, samformecon, aŭ metrikon. Ekzemple, iu ajn grupo povas esti konsiderata kiel topologia grupo per doni al ĝi la diskretan topologion, implicantan, ke teoremoj pri topologiaj grupoj turnas sin al ĉiuj grupoj. Ja, analizistoj povas nomi la ordinarajn, ne-topologiajn grupojn studitajn far algebristoj "diskretaj grupoj" . En iuj kazoj, ĉi tio povas esti utile aplikata, ekzemple kombinita kun duvarianteco de Pontrjagin.

0-dimensia dukto (aŭ diferencialebla aŭ analitika dukto) estas nenio krom diskreta topologia spaco. En la spirito de la antaŭa alineo, ni povas pro tia vido iu ajn diskreta grupo kiel 0-dimensia grupo de Lie.

Dum diskretaj spacoj estas ne tre ekscitantaj el topologia starpunkto, oni povas facile konstrui interesajn spacojn el ili. Ekzemple, (produkto, produto) de kalkuleble malfinie multaj kopioj de la diskreta spaco de naturaj nombroj estas homeomorfia al la spaco de neracionalaj nombroj (neracionaloj), kun la homeomorfio donita per la ĉenfrakcia elvolvaĵo. (Produkto, Produto) de kalkuleble malfinie multajn kopioj de la diskreta spaco {0,1} estas homeomorfiaj al la Aro de Kantor; kaj fakte unuforme homeomorfiaj al la Aro de Kantor se ni uzas la (produkto, produto) samformecon sur la (produkto, produto). Tia homeomorfio estas donita per triargumenta skribmaniero de nombroj. (Vidu Spaco de Cantor.)

En la fundamentoj de matematiko, la studo de kompaktecaj propraĵoj de produtoj de {0,1} estas centra en la topologia aliro al la ultrafiltrila principo, kiuj estas malfortaj formo de elekto.

Nediskretaj spacoj

En iuj manieroj, la kontraŭa de la diskreta topologio estas la maldiskreta topologio (ankaŭ nomata kiel la maldiskreta topologio), kiu havas la plej malgrandan eblan nombron de malfermitaj aroj (nur la malplena aro kaj la spaco mem). Kie la diskreta topologio estas komenca aŭ libera, la maldiskreta topologio estas fina aŭ kunlibera: ĉiu funkcio de topologia spaco al maldiskreta spaco estas kontinua, kaj tiel plu.

Kurzo

• Stanislaw Ulam karakterizis Los-Anĝeleso (Kalifornio) kiel "diskreta spaco, en kiu estas hora pelo inter punktoj".

Vidu ankaŭ

• Cilindra aro

Notoj

• Aŭtobiografio de Stanislaw Ulam, Aventuroj de Matematikisto.