Ekvilibra primo

En matematiko, ekvilibra primo estas tia primo, kiu egalas la averaĝon de siaj du apudaj (pli granda kaj pli malgranda) primoj.

Difino

Nombru la primojn kiel

$p_{1},p_{2},p_{3},\dotsc$;

tiel, $p_{1}=2$, $p_{2}=3$, $p_{3}=5$, ktp. Do, la primo $p_{n}$ estas ekvilibra, se kaj nur se

$p_{n}={\frac {p_{n-1}+p_{n+1}}{2}}$.

Tia primo, kiu estas pli granda ol la averaĝo de ĝiaj du najbaraj primoj, nomiĝas forta primo; tia primo, kiu estas malpli granda ol la averaĝo, nomiĝas malforta primo. Do, ekvilibra primo estas primo, kiu estas ne forta, nek malforta.

Propraĵoj

Estas konjekto, ke ekzistas malfinie multaj ekvilibraj primoj.

Se ekzistas tri najbaraj primoj en aritmetika vico, do la dua primo el ili estas laŭdifine ekvilibra.

Ekzemploj

Jen la unuaj kelkaj ekvilibraj primoj:

5, 53, 157, 173, 211, 257, 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977, 1103, …

Ekzemple, 53 estas la 16-a primo. La 15-a kaj 17-a primoj estas 47 kaj 59; kaj

$53={\frac {47+59}{2}}$.

Tial 53 estas ekvilibra primo.

La plej granda sciata ekvilibra primo havas 7535 ciferojn (trovita de David Broadhurst kaj François Morain):

$p_{n}=197418203\times 2^{25000}-1,\;p_{n-1}=p_{n}-6090,\;p_{n+1}=p_{n}+6090$

La valoro n estas ne sciata.

Eksteraj ligiloj

• A006562 en OEIS - la unuaj ekvilibraj primoj