Leibniz-a integrala regulo

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

La Leibniz-a integrala regulo, aŭ formulo de Leibniz por diferencialado de difinita integralo, estas

 {d \over dt} \int_{a(t)}^{b(t)} f(t,x) \, dx = \int_{a(t)}^{b(t)} {\partial f(t,x) \over \partial t} \, dx + f(t,b(t)) {d b(t) \over dt} - f(t,a(t)) {d a(t) \over dt}.

(rimarku, ke la randoj de integralado estas funkcioj de t).

Pruvo de la Leibniz-a integrala regulo[redakti | redakti fonton]

Estu

G = G(t,a,b) = \int_a^b f(t,x) \, dx

kie la randoj de integralado A = A(t) kaj b = b(t) estas funkcioj de t. La tuteca derivaĵo de G kun respekto al t, en terminoj de partaj derivaĵoj, estas

 {d \over dt} G = {\partial G \over \partial t} + {\partial G \over \partial a} {d a \over d t} + {\partial G \over \partial b} {d b \over d t}. \qquad \qquad (1)

Tiam

 {\partial G \over \partial t} = \int_a^b {\partial f \over \partial t} \, dx, \qquad \qquad (2)

ĉar integralo estas kontinua sumado, kaj derivado estas lineara operacio,

 {\partial G \over \partial b} = {\partial \over \partial b} \int_a^b f(t,x) \, dx = f(t,b) \qquad \qquad (3)

pro la fundamenta teoremo de kalkulo, kaj

 {\partial G \over \partial a} = {\partial \over \partial a} \int_a^b f(t,x) \, dx = -f(t,a) \qquad \qquad (4)

denove pro la fundamenta teoremo de kalkulo. Anstataŭigante ekvaciojn (2), (3), kaj (4) en ekvacion (1) oni ricevas la formulon.