Teoremo de Poisson

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

Teoremo de Poisson estas teoremo en probablokalkulo.

Integro[redakti | redakti fonton]

Se ekzistas vico de provo de Bernoulli kaj se p_n estas probablo de «sukceso», kaj \mu_n nombro de «sukcesoj»,

Se

  1. \lim_{n \to \infty} p_n = 0 ;
  2. \lim_{n \to \infty} n p_n = \lambda ;
  3. \lambda > 0 ;
do
\lim_{n \to \infty} P (\omega  : \mu_n(\omega) = m) = e^{-\lambda} \cfrac {\lambda^m} {m!} .

Pruvo[redakti | redakti fonton]

Uzante formulon de Bernoulli, devas esti, ke

\lim_{n \to \infty} P (\omega  : \mu_n(\omega) = m) = C_n^m (p_n)^m (1-p)^{n-m} = \cfrac {n!} {m!(n-m)!} \bigg( \cfrac {\lambda} {n} + o \bigg( \cfrac {\lambda} {n} \bigg) \bigg) ^m \bigg( 1 - \cfrac {\lambda} {n} - o \bigg( \cfrac {\lambda} {n} \bigg) \bigg) ^{n-m} =
 = \cfrac {1} {m} \cfrac {(n-m+1) (n-m+2) \ldots n} {n^m} \bigg( \cfrac {\lambda} {n} + o \bigg( \cfrac {\lambda} {n} \bigg) \bigg) ^m \bigg( 1 - \cfrac {\lambda} {n} - o \bigg( \cfrac {\lambda} {n} \bigg) \bigg) ^{n-m} ,
ĉar
\lim_{n \to \infty} n p_n = \lambda \; \Leftrightarrow \; p_n = \cfrac {\lambda} {n} + o \bigg( \cfrac {\lambda} {n} \bigg)
ĉe
\lim_{n \to \infty} \cfrac {o \bigg( \cfrac {\lambda} {n} \bigg)} {\cfrac {\lambda} {n}} = 0 .

Sed ĉar

  1. \lim_{n \to \infty} \cfrac {(n-m+1) (n-m+2) \ldots n} {n^m} = \bigg( \lim_{n \to \infty} \cfrac {(n-m+1)} {n} \bigg) \cdot \bigg( \lim_{n \to \infty} \cfrac {(n-m+2)} {n} \bigg) \cdot \ldots \cdot \bigg( \lim_{n \to \infty} \cfrac {(n)} {n} \bigg) = 1 ;
  2. \lim_{n \to \infty} (\lambda + o(\lambda))^m = \lambda ^m ;
  3. \lim_{n \to \infty} \bigg( 1 - \cfrac {\lambda} {n} - o \bigg( \cfrac {\lambda} {n} \bigg) \bigg) = e^{-\lambda} ,
ĉe devita egalaĵo turniĝas en
\lim_{n \to \infty} P (\omega  : \mu_n(\omega) = m) = e^{-\lambda} \cfrac {\lambda^m} {m!} .
Q.E.D.