Sigmo-funkcio de Weierstrass

En matematiko, la funkcioj Weierstrass estas tri specialaj funkcioj de komplekso variablo kiuj estas akcesoraj al la elipsa funkcio de Weierstrass

$\wp (z)$

Sigmo-funkcio de Weierstrass

La sigmo-funkcio de Weierstrass asociita al du-dimensia fundamenta paro de periodoj (krado) $\Lambda \subset \mathbb {C}$ estas difinita kiel produto

$\sigma (z;\Lambda )=z\prod _{w\in \Lambda ^{*}}\left(1-{\frac {z}{w}}\right)e^{z/w+{\frac {1}{2}}(z/w)^{2}}$

kie $\Lambda ^{*}$ estas $\Lambda -\{0\}$.

Zeto-funkcio de Weierstrass

La zeto-funkcio de Weierstrass estas difinita kiel sumo

$\zeta (z;\Lambda )={\frac {\sigma '(z;\Lambda )}{\sigma (z;\Lambda )}}={\frac {1}{z}}+\sum _{w\in \Lambda ^{*}}\left({\frac {1}{z-w}}+{\frac {1}{w}}+{\frac {z}{w^{2}}}\right)$

La zeto-funkcio de Weierstrass estas surbaze de la logaritma derivaĵo de la sigmo-funkcio. La zeto-funkcio povas esti reskribita kiel:

$\zeta (z;\Lambda )={\frac {1}{z}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_{2k+2}(\Lambda )z^{2k+1}$

kie ${\mathcal {G}}_{2k+2}$ estas la serio de Eisenstein de pezo 2k+2.

La derivaĵo de la zeto-funkcio estas $-\wp (z)$.

La zeto-funkcio de Weierstrass devus ne esti konfuzita kun la rimana ζ-funkcio.

Eto-funkcio de Weierstrass

La eto-funkcio de Weierstrass estas difinita kiel

$\eta (w;\Lambda )=\zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda ),{\mbox{ por cxiu }}z\in \mathbb {C}$

Povas esti pruvite ke ĉi tio estas bona difina, kio estas $\zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda )$ dependas nur de w.

La eto-funkcio de Weierstrass devas ne esti konfuzita kun la dedekinda eta funkcio.

Eksteraj ligiloj

• Sigma funkcio de Weierstrass en PlanetMath.