Ĉina restteoremo

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

Ĉina restteoremo estas la nomo de multaj similaj teoremoj de abstrakta algebro kaj nombroteorio.

Simultanaj kongruecoj de entjeroj[redakti | redakti fonton]

Simultana kongrueco de entjeroj estas sistemo de linearaj kongruecoj

por kiu ĉuij estu trovita, kiuj solvas ĉiujn kongruecojn samtempe. Se solvo ekzistas kaj oni definas ("pmko" signifas la plej malgrandan komunan oblon), la aro enhavas ĉiujn solvojn. Sed ankaŭ eblas, ke nenio solvo ekzistas.

Interprimaj moduloj[redakti | redakti fonton]

La origina versio de la restteoremo (el la libro La kompendio de aritmetiko de Sūn Zǐ de la ĉina matematikisto Sūn Zǐ) deklaras eldiron pri simultanajn kongruecojn en la kazo, ke la moduloj estas interprimaj. Ĝi tekstas:

estu pare interprimaj entjeroj. Tiam por ĉiu entjera opo ekzistas entjero , kiu solvas la jenan simultanan kongruecon:

kun

Ĉiuj solvoj por tiu kongrueco estas kongrua module .

Tio Produkto egalas la PMKO kaŭze de interprimeco.

Trovado de unu solvo

Unu solvo povas esti trovita jen: Por ĉiu la nombroj kaj estas interprimoj, do oni povas trovi du nombrojn kaj , ekzemple kun la etendita eŭklida algoritmo, kun la propreco

.

Se oni metas , tiam validas

.

Tiam la nombro

estas solvo por la simultana kongrueco.

Ekzemplo

Estu serĉata entjero kun la propreco

Ĉi tie validas . Kun helpo de etendita eŭklida algoritmo oni kalkulas

, do
, do
, do

Tiam unu solvo estas . Kaŭze de ĉiuj aliaj solvoj estas kongruaj al 47 module 60.

Ĝenerala kazo[redakti | redakti fonton]

Ankaŭ ĉe la kazo, ke la moduloj ne estas interprimaj, ekzistas solvo kelkfoje. La ekzakta kondiĉo tekstas: Solvo por la simultana kongrueco ekzistas strikte tiam, se por ĉiuj validas:

.

Ĉiuj solvoj estas kongruaj module la PMKO de .

En la kazo, ke solvo ekzistas, unu simultana kongrueco povas esti solvita ekzemple per iom post iom substituo, ankaŭ se la moduloj ne estas interprimoj.

Ekzemplo

La celo de unu klassika enigmo estas trovi la malplej grandan naturalan nombron, kiu ĵetas la reston 1 ĉe dividado kun resto kun 2, 3, 4, 5 kaj 6, kaj estas dividebla kun 7. Do oni serĉas la malplej grandan pozitivan solvon de la simultana kongrueco.

Ĉar la moduloj ne estas interprimaj, oni ne povas apliki la ĉinan restteoremon senpere. Sed oni povas kunigi la unuan kvin kondiĉojn al , kiu signifas, ke solvo estu trovita por

Tiu sistemo de kongruecoj nun solveblas kun la ĉina restteoremo.

Rekta solvado de simultanaj kongruecoj de entjeroj[redakti | redakti fonton]

La jenaj ambaŭ kongruecoj estu donita:

Se tiuj solveblas, do , ili estas ekvivalenta je la simpla kongrueco:

kun .

Tio ankaŭ funkcias kun neinterprimaj nombroj n kaj m kaj do aperas kiel klara simpligo por solvi simultanajn kongruecojn. Sistemo de kongruecoj povas esti solvita per refarita aplikado de tiu simpligo.