Modula aritmetiko

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

Modula aritmetiko estas sistemo de aritmetiko por entjeroj, kie nombroj "turniĝas reen" post kiam ili atingas certan valoron — la modulon. Modula aritmetiko estis prezentita per Carl Friedrich Gauss en lia libro Disquisitiones Arithmeticae (publikigita en 1801).

Ekzemplo por modula aritmetiko estas kutima horloĝo: la aritmetiko de horoj sur la horloĝo. Se la tempo estas 7 horoj do post 8 horoj estas 15 horoj (kiel en kutima aldono). Se la tempo estas 7 horoj do post 19 horoj estas (7+19)=26 horoj (laŭ en kutima aldono), sed horloĝo uzas modulon 24, do estas 26 mod 24=2 horoj (de la sekva diurno).

La rilato[redakti | redakti fonton]

Du entjeroj a kaj b estas kongruaj module n, se a kaj b havas la saman reston kiam estas dividitaj per n (por pozitivaj entjeroj), aŭ ekvivalente, ke ilia diferenco (a−b) estas produto de n kaj entjero (por ĉiaj entjeroj). En ĉi tiu okazo, la afero estas esprimita kiel

ab (mod n).

Ekzemple,

38 ≡ 14 (mod 12)

ĉar 38 − 14 = 24 kiu estas entjera obligo de 12.

Kongrueco estas ekvivalentrilato. Ekvivalentklaso de la entjero a estas signifita per [a]n = { ..., a − 2n, an, a, a + n, a + 2n, a + 3n, ...}. Ĉi tiu aro de ĉiuj entjeroj kongruaj al a module n estas nomita kiel la kongrueca klason-modula restoklaso de a module n, kaj estas ankaŭ signifis per \hat{a}.

Se

a1b1 (mod n)

kaj

a2b2 (mod n)

tiam

a1 + a2 ≡ (b1 + b2) (mod n)

kaj

a1a2b1b2 (mod n).