Alterna faktorialo

En matematiko, alterna faktorialo af(n) estas la absoluta valoro de la alterna sumo de la unuaj n faktorialoj.

Ĉi tio estas:

• La sumo de faktorialoj m! por m=1 ... n kun la faktorialoj de neparaj m multiplikitaj per -1 se n estas para;
• La sumo de faktorialoj m! por m=1 ... n kun la faktorialoj de paraj m multiplikitaj per -1 se n estas nepara.

Aŭ

$\mathrm {af} (n)=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{n-i}i!$

aŭ

af(n) = n! - (n-1)! + (n-2)! - (n-3)! + ... +/- 1!

aŭ per la rikureca rilato

$\mathrm {af} (n)=n!-\mathrm {af} (n-1)$

en kiu af(1) = 1.

Sendistinge de pareco de n, la lasta n-a termo n!, estas donita kun pozitiva signo, la (n-1)-a termo (n-1)! estas donita negativa signo, kaj tiel plu.

La unuaj kelkaj alternaj faktorialoj estas

1, 1, 5, 19, 101, 619, 4421, 35899, 326981, 3301819, 36614981, 442386619, 5784634181, 81393657019

af(1) = 1! = 1

af(2) = - 1! + 2! = 1

af(3) = 1! - 2! + 3! = 5

af(4) = -1! + 2! - 3! + 4! = 19

Miodrag Zivković pruvis en 1999 ke estas nur finia kvanto de alternaj faktorialoj kiuj estas primoj, pro tio ke af(3612702) dividiĝas per 3612703 kaj pro tio af(n) por ĉiu n≥3612702 dividiĝas per 3612703 . Kiel en 2006, la sciataj primoj kaj verŝajnaj primoj estas af(n) por

n = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 19, 41, 59, 61, 105, 160, 661, 2653, 3069, 3943, 4053, 4998, 8275, 9158, 11164

Nur la valoroj supren ĝis n = 661 estas pruvitaj al esti primoj en 2006. af(661) estas proksimume 7,818097272875 × 10¹⁵⁷⁸.

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Alterna Faktorialo en MathWorld.
• A005165 en OEIS - la unuaj kelkaj alternaj faktorialoj
• A001272 en OEIS - n tiaj ke af(n) estas verŝajna primo
• [1] Yves Gallot. Ĉu la kvanto de primoj ${1 \over 2}\sum _{i=0}^{n-1}i!$ estas finia?
• [2] Paul Jobling. Problemo B43: serĉo por primoj de formo n!-(n-1)!+(n-2)!-(n-3)!+...+/-1!