Fajna strukturo

Fajna strukturo de spektro de hidrogeno: disiĝo la energinivelo pri n=2 en serio de Lyman.

En atoma fiziko, la fajna strukturo, aŭ maldika strukturo, estas la forkiĝo (dividiĝo) de la spektraj linioj de atomo pro relativecaj korektadoj de la unua ordo.

La fajna strukturo de liniaj spektroj estas la liniaj spektroj antaŭdiritaj por ne-relativecaj elektronoj sen spino. Ekzemple pri hidrogena atomo, energiaj niveloj de la fajna strukturo dependas nur de la ĉefa kvantuma nombro n. Tamen, pli preciza modelo konsideras ankaŭ relativisman kaj spinan efikojn, kiuj rompas la degenerecon de la energiaj niveloj kaj disforkigas la spektrajn liniojn. La skalo de la fajnstruktura forkiĝo relative al diferenco de energiaj niveloj de la fajna strukturo estas je ordoj de grandeco malplialta (Ĉ. 20 000 foje malpli pri hidrogeno), ĉar valoras nur Zα², kie Z estas la atomnumero kaj α estas la maldiko-struktura konstanto.

La fajna strukturo povas esti disdividita en tri ĝustigajn termojn: la kineta energia termo, la spino-orbita termo, kaj la termo de kvantumaj osciladoj de elektrono (termo de Darwin). La plena hamiltona esprimo estas:

$H=H_{0}+H_{kineta}+H_{so}+H_{Darwin}\ .$

Relativisma korektado de kineta energio

Klasike, la kineta-energia termo de la hamiltona esprimo estas:

$T={\frac {p^{2}}{2m_{e}}}$

Tamen, se estas konsideranta ankaŭ speciala teorio de relativeco, oni devas uzi relativisman formon de la kineta energio,

$T={\sqrt {p^{2}c^{2}+m_{e}^{2}c^{4}}}-m_{e}c^{2}$

kie la unua termo estas la tuteca relativisma energio kaj la termo estas la kvieta energio de la elektrono. Elvolvante ĉi tion per serio de Taylor rezultas

$T={\frac {p^{2}}{2m_{e}}}-{\frac {p^{4}}{8m_{e}^{3}c^{2}}}+\dots$

Tiel korektado de la unua ordo al la hamiltona esprimo estas

$H_{kineta}=-{\frac {p^{4}}{8m_{e}^{3}c^{2}}}$

Uzanta ĉi tion kiel perturbo, oni povas kalkuli la energiajn korektadojn de la unua ordo pro relativismo.

$E_{n}^{(1)}=\langle \psi ^{0}\vert H'\vert \psi ^{0}\rangle =-{\frac {1}{8m_{e}^{3}c^{2}}}\langle \psi ^{0}\vert p^{4}\vert \psi ^{0}\rangle =-{\frac {1}{8m_{e}^{3}c^{2}}}\langle \psi ^{0}\vert p^{2}p^{2}\vert \psi ^{0}\rangle$

kie $\psi ^{0}$ estas la neperturbita onda funkcio. Memorante la neperturbitan hamiltonan esprimon, oni vidas ke

$H^{0}\vert \psi ^{0}\rangle =E_{n}\vert \psi ^{0}\rangle$

$\left({\frac {p^{2}}{2m_{e}}}+V\right)\vert \psi ^{0}\rangle =E_{n}\vert \psi ^{0}\rangle$

$p^{2}\vert \psi ^{0}\rangle =2m_{e}(E_{n}-V)\vert \psi ^{0}\rangle$

Oni povas uzi ĉi tiu rezulto por plu kalkuli la relativisman korektadon:

$E_{n}^{(1)}=-{\frac {1}{8m_{e}^{3}c^{2}}}\langle \psi ^{0}\vert p^{2}p^{2}\vert \psi ^{0}\rangle$

$E_{n}^{(1)}=-{\frac {1}{8m_{e}^{3}c^{2}}}\langle \psi ^{0}\vert (2m_{e})^{2}(E_{n}-V)^{2}\vert \psi ^{0}\rangle$

$E_{n}^{(1)}=-{\frac {1}{2m_{e}c^{2}}}(E_{n}^{2}-2E_{n}\langle V\rangle +\langle V^{2}\rangle )$

Por hidrogeno, $V={\frac {e^{2}}{r}}$, $\langle V\rangle ={\frac {e^{2}}{a_{0}n^{2}}}$ kaj $\langle V^{2}\rangle ={\frac {e^{4}}{(l+1/2)n^{3}a_{0}^{2}}}$ kie a₀ estas la radiuso de Bohr, n estas la ĉefa kvantuma nombro kaj l estas la azimuta kvantuma nombro. Pro tio la relativisma korektado por hidrogeno estas

$E_{n}^{(1)}=-{\frac {1}{2m_{e}c^{2}}}\left(E_{n}^{2}-2E_{n}{\frac {e^{2}}{a_{0}n^{2}}}+{\frac {e^{4}}{(l+1/2)n^{3}a_{0}^{2}}}\right)=-{\frac {E_{n}^{2}}{2m_{e}c^{2}}}\left({\frac {4n}{l+1/2}}-3\right)$

Spino-orbita kuplado

La spino-orbita korektado aperas kiam oni konsideras ne la norman kadron de referencon (kie la elektronaj orbitas ĉirkaŭ la atomkerno) sed tiun kie la elektrono estas senmova kaj la atomkerno anstataŭe orbitas ĉirkaŭ ĝi. En ĉi tiu okazo la orbitanta kerno funkcias kiel cikla elektra kurento, kiu generas magnetan kampon. Tamen, la elektrono mem havas magnetan momanton pro sia apriora angula movokvanto. La du magnetaj vektoroj, ${\vec {B}}$ kaj ${\vec {\mu }}_{s}$ kupliĝas kune tiel ke estas certa energio dependanta de ilia relativa orientiĝo. Ĉi tiu donas la energian korektadon de formo

$\Delta E_{so}=\xi (r){\vec {L}}\cdot {\vec {S}}.$

$H_{so}=\left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\right)\left({\frac {1}{2m_{e}^{2}c^{2}}}\right){\frac {{\vec {l}}\cdot {\vec {s}}}{r^{3}}}$

Termo de Darwin

La termo de Darwin ŝanĝas la efikan potencialon je la kerno. Ĝi povas esti interpretita kiel ŝmirado de la elektrostatika interago inter la elektrono kaj kerno pro kvantumaj osciladoj de elektrono.

$H_{Darwin}={\frac {\hbar ^{2}}{8m_{e}^{2}c^{2}}}4\pi \left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\right)\delta ^{3}\left({\vec {r}}\right)$

Vidu ankaŭ

• Spino-orbita interago
• Angula movokvanta kuplado
• Hiperfajna strukturo
• Ŝoviĝo de Lamb
• Konstanto de fajna strukturo
• Niels Bohr
• William Rowan Hamilton
• Charles Galton Darwin, nepo de Charles Darwin

Eksteraj ligiloj

• Fajna strukturo en Hyperphysics angle
• La fajna strukturo de hidrogeno de Universitato de Teksaso angle