Kvadrata averaĝo

En matematiko, la radiko de averaĝo de kvadrato aŭ kvadrata averaĝo, estas statistika mezuro de la grandeco de varianta kvanto. Ĝi estas aparte utila kiam la stokasta variablo estas pozitiva kaj negativa.

Ĝi povas esti kalkulita por serio de diskretaj valoroj aŭ por kontinue varianta funkcio. Kiel la nomo sugestas, ĝi estas la kvadrata radiko de averaĝo de kvadratoj de la valoroj. Ĝi estas speciala okazo de la ĝeneraligita meznombro kun la eksponento 2.

La radiko de averaĝo de kvadrato de kolekto de n nombroj {x₁, ..., x_n} estas

x_{ka}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}{n}}}

Ekzemple, la radiko de averaĝo de kvadrato de kolekto de nombroj 2, 5, 2, 7 estas

{\sqrt {\frac {2^{2}+5^{2}+2^{2}+7^{2}}{4}}}\approx 4,53

La radiko de averaĝo de kvadrato de funkcio f(t) super intervalo [T₁, T₂] estas

{\sqrt {{\frac {1}{T_{2}-T_{1}}}\int _{T_{1}}^{T_{2}}(f(t))^{2}\,dt}}

La radiko de averaĝo de kvadrato de funkcio f(t) super la ĉiuj reelaj argumentoj estas

\lim _{T\rightarrow \infty }{\sqrt {{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}(f(t))^{2}\,dt}}

La radiko de averaĝo de kvadrato super ĉiuj reelaj argumentoj de perioda funkcio estas egala al la radiko de averaĝo de kvadrato super unu periodo de la funkcio kaj egalas al

{\sqrt {{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}(f(t))^{2}\,dt}}

kie T estas la periodo

Interrilato al la aritmetika meznombro kaj la norma diferenco

Se ${\bar {x}}$ estas la averaĝo kaj $\sigma _{x}$ estas la norma diferenco (varianca devio) de statistika loĝantaro tiam por la radiko de averaĝo de kvadrato x_ka estas idento

x_{ka}^{2}={\bar {x}}^{2}+\sigma _{x}^{2}

Tiel radiko de averaĝo de kvadrato estas ĉiam pli granda ol aŭ egala al la averaĝo.

Fizikistoj iam uzas la terminon "radiko de averaĝo de kvadrato" kiel sinonimo por norma diferenco (varianca devio) kiam temas pri dekliniĝo de signalo de donita baza linio.

Radiko de averaĝo de kvadrato de iuj funkcioj^[1]

Funkcio		Radiko de averaĝo de kvadrato
Sinusa funkcio	$a\sin(2\pi ft+b)$	${\frac {a}{\sqrt {2}}}$ ne dependas de b
Ortangula ondo	${\begin{cases}a&((ft)mod1)<{\frac {1}{2}}\\-a&((ft)mod1)>{\frac {1}{2}}\end{cases}}$	${a}$
Triangula ondo		${\frac {a}{\sqrt {3}}}$
Modifita ortangula ondo	${\begin{cases}0&((ft)mod1)<{\frac {b}{2}}\\a&{\frac {b}{2}}<((ft)mod1)<{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {1}{2}}<((ft)mod1)<{\frac {b+1}{2}}\\-a&((ft)mod1)>{\frac {b+1}{2}}\end{cases}}$	${a}{\sqrt {1-b}}$

kie t estas la nedependa variablo;

f estas frekvenco;

a estas amplitudo (kulmina valoro);

b estas parametro de formo;

mod estas la modula operacio (restaĵo de divido).

En ĉiuj okazoj la radiko de averaĝo de kvadrato ne dependas de la frekvenco f.

Uzoj

Averaĝa elektra povumo

Varma povumo P eligita per elektra rezistilo de rezistanco R tra kiu flua elektra kurento I estas

P = I² R

Se la kurento estas funkcio de tempo I(t) tiam ankaŭ la povumo funkcio de tempo

P(t) = (I(t))² R

La averaĝa povumo dum iu tempodaŭro tiam estas integralo de P(t) dividita je la daŭro

P_{a}={\frac {1}{T_{2}-T_{1}}}\int _{T_{1}}^{T_{2}}P(t)\,dt={1 \over {T_{2}-T_{1}}\int _{T_{1}}^{T_{2}}(I(t))^{2}R\,dt}

R ne dependas de t kaj do povas esti eligita el la integralo kiel konstanta faktoro

P_{a}=R{\frac {1}{T_{2}-T_{1}}}\int _{T_{1}}^{T_{2}}(I(t))^{2}\,dt

Nun oni prenu kvadraton de kvadrata radiko de la integralo, la rezulto tiam ne ŝanĝiĝas

P_{a}=R{\sqrt {{\frac {1}{T_{2}-T_{1}}}\int _{T_{1}}^{T_{2}}(I(t))^{2}\,dt}}^{2}

Nun la radiko estas radiko de averaĝo de kvadrato de la kurento super la daŭro

I_{ka}={\sqrt {{\frac {1}{T_{2}-T_{1}}}\int _{T_{1}}^{T_{2}}(I(t))^{2}\,dt}}

Kaj la formulo por averaĝa povumo povas esti skribita kiel

P_a = I_ka² R

Ĉi tio aparte utilas se la kurento I(t) estas perioda, unuavice la sinusa alterna kurento. Por sinusa alterna kurento $I_{ka}={\frac {I_{max}}{\sqrt {2}}}$ kie I_max estas la amplituda valoro (kulmina valoro, momenta maksimuma absoluta valoro).

Simila rezulto okazas se konsideri tension je la rezistilo

P = V² / R

Se la tensio estas funkcio de tempo V(t) tiam ankaŭ la povumo funkcio de tempo

P(t) = (V(t))² / R

Kaj la averaĝa povumo estas

P_a = V_ka² / R

Por alterna kurento, ĝuste la radiko de averaĝo de kvadrato de kurento kaj tensio estas uzata kiel la ĉefa priskriba valoro. En ĉi tiu okazo la radiko de averaĝo de kvadrato de kurento aŭ tensio estas nomata kiel ĝia efika valoro, ĉar ĝi priskribas la povuman efikon. La amplituda valoro estas je kvadrata radiko de 2 (proksimume 1,41) fojoj pli granda. Tiel ekzemple, tensio 230 V de alterna kurento havas la amplitudan valoron de proksimume 325 V.

Radiko de averaĝo de kvadrato de rapido

En fiziko, la radiko de averaĝo de kvadrato de rapido estas parametro de moviĝo de molekuloj de gaso. Ĉe ideala gaso ĝi egalas

v_{ka}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}}

kie R ≈ 8,314 J K⁻¹ mol⁻¹ estas la ideala kasa konstanto;

T estas temperaturo de la gaso;

M estas molmaso de la gaso.

Vidu ankaŭ en distribuo de Maxwell-Boltzmann.

Vidu ankaŭ

Referencoj

↑ Cartwright, Kenneth V (2007). “Determining the Effective or RMS Voltage of Various Waveforms without Calculus”, Technology Interface (Difinado de la efika aŭ kvadrata averaĝo tensio de diversaj ondformoj sen kalkulo)' (angle) (PDF) 8 (1), p. 20 paĝoj.

Eksteraj ligiloj

[1] Cartwright, Kenneth V (2007). “Determining the Effective or RMS Voltage of Various Waveforms without Calculus”, Technology Interface (Difinado de la efika aŭ kvadrata averaĝo tensio de diversaj ondformoj sen kalkulo)' (angle) (PDF) 8 (1), p. 20 paĝoj.

[1]