Mediano (geometrio)

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo
Medianoj kaj pezocentro de triangulo

En geometrio, mediano de triangulo estas streko kuniganta verticon kun mezpunkto de la kontraŭa latero.

Ĉiu triangulo havas akurate 3 medianojn de ĉiu el 3 verticoj.

Punkto de intersekco[redakti | redakti fonton]

La tri medianoj estas intersekciĝas je unu punkto kiu estas pezocentrocentro de maso de la triangulo (se konsideri ke triangulo estas farita el folio kiu havas ĉie la saman surfacan densecon). Ĉi tio signifas ke la pezocentro estas ĉiam en eno de triangulo. Per la punkto de intersekco, la medianoj estas disdividitaj tiel ke du trionoj de longo de ĉiu mediano estas inter la vertico kaj la punkto de intersekco, kaj unu triono estas inter la punkto de intersekco kaj mezpunkto de la latero.

Divido de areo[redakti | redakti fonton]

Ĉiu el la tri medianoj dividas la triangulon en du pli malgrandajn triangulojn de egala areo.

Ĉiu alia rekto kiu dividas areon de triangulo en du egalajn partojn ne trapasas la pezocentron.

La tri medianoj kune dividas la triangulon en ses pli malgrandajn triangulojn de egala areo.

Pruvo[redakti | redakti fonton]

Konsideru triangulon ABC. Estu D esti mezpunkto de \overline{AB}, E estu mezpunkto de \overline{BC}, F esti mezpunkto de \overline{AC}, kaj O estu la pezocentro.

Per difino, AD=DB, AF=FC, BE=EC, tial [ADO]=[BDO], [AFO]=[CFO], [BEO]=[CEO], [ABE]=[ACE], kie [ABC] prezentas la areon de triangulo \triangle ABC.

Do:

[ABO]=[ABE]-[BEO]
[ACO]=[ACE]-[CEO]

Tial, [ABO]=[ACO] kaj [ADO]=[DBO], [ADO]=\frac{1}{2}[ABO]

Pro tio ke [AFO]=[FCO], [AFO]= \frac{1}{2}AFO=\frac{1}{2}[ABO]=[ADO], pro tio, [AFO]=[FCO]=[ABO]=[ADO].

Uzante la saman manieron, onii povas montri ke [AFO]=[FCO]=[ABO]=[ADO]=[BEO]=[CEO].

Formulo por longo[redakti | redakti fonton]

Laŭ teoremo de Stewart

m = \sqrt {\frac{2 b^2 + 2 c^2 - a^2}{4} }

kie a estas longo de latero de la triangulo tra kies mezpunkto estas la mediano,

b, c estas longoj de la aliaj lateroj,
m estas longo de la mediano.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]