Notacio de Knuth

Notacio de Knuth estas matematika metodo por referenci enorme grandajn nombrojn. Ĝin kreis Donald Knuth en 1976. Ege parenca al funkcio de Ackermann, ĝi utiligas la principon de iteraciita potencigo, samkiel potencigo estas iteraciita multipliko kaj multipliko estas iteraciita adicio.

Enkonduko en la notacion

Multipliko je naturalo estas iteraciita adicio:

${\begin{matrix}ab&=&\underbrace {a+a+\dots +a} \\&&b{\mbox{ kopioj de }}a\end{matrix}}.$

Ekzemple, Io

${\begin{matrix}3\times 2&=&\underbrace {3+3} &=&6\\&&2{\mbox{ kopioj de }}3\end{matrix}}.$

Same, potencigo je natura nombro estas iteraciita multipliko:

${\begin{matrix}a\uparrow b=a^{b}=&\underbrace {a\times a\times \dots \times a} \\&b{\mbox{ kopioj de }}a\end{matrix}}.$

Ekzemple:

${\begin{matrix}3\uparrow 2=3^{2}=&\underbrace {3\times 3} &=&9\\&2{\mbox{ kopioj de }}3\end{matrix}}.$

Notu, kiel suprenindikilo estas uzata por potencigo. Similmaniere, Knuth difinis la operacion de duobla suprenindikilo:

${\begin{matrix}a\uparrow \uparrow b&={\ ^{b}a}=&\underbrace {a^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{a}}}}}}} &=&\underbrace {a\uparrow a\uparrow \dots \uparrow a} \\&&b{\mbox{ kopioj de }}a&&b{\mbox{ kopioj de }}a\end{matrix}}$

Ekzemple:

${\begin{matrix}3\uparrow \uparrow 2&={\ ^{2}3}=&\underbrace {3^{3}} &=&\underbrace {3\uparrow 3} &=&27\\&&2{\mbox{ kopioj de }}3&&2{\mbox{ kopioj de }}3\end{matrix}}.$

Notu, ke tie ĉi kaj plu la nombroj estas kalkulitaj kaj transformitaj de dekstre maldekstren. Laŭ tiu ĉi difino,

$3\uparrow \uparrow 2=3^{3}=27$

$3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7625597484987$

$3\uparrow \uparrow 4=3^{3^{3^{3}}}=3^{7625597484987}$ (nur por skribi la numeralon en plena formo oni bezonus ĉ. 1.37 terabajtojn de diska spaco, t. e. $7,625,597,484,987\times {\frac {\log 3}{\log 2}}$ bitojn)

$3\uparrow \uparrow 5=3^{3^{3^{3^{3}}}}=3^{3^{7625597484987}}$

ktp.

Eĉ tiuj ĉi nombroj jam estas enormaj, sed Knuth plu disvolvis la notacion, difininte operatoron de triobla suprenindikilo:

${\begin{matrix}a\uparrow \uparrow \uparrow b=&\underbrace {a_{}\uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow \dots \uparrow \uparrow a} \\&b{\mbox{ kopioj de }}a\end{matrix}}$

kaj poste kvarobla suprenindikilo:

${\begin{matrix}a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=&\underbrace {a_{}\uparrow \uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow \uparrow \dots \uparrow \uparrow \uparrow a} \\&b{\mbox{ kopioj de }}a\end{matrix}}$

kaj tiel plu.

La ĝenerala regulo estas ke operatoro de $n$-obla suprenindikilo transformiĝas en serion de la ($n-1$)-oblaj. Simbolece,

${\begin{matrix}a\ \underbrace {\uparrow _{}\uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow } \ b=a\ \underbrace {\uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow } \ a\ \underbrace {\uparrow _{}\!\!\dots \!\!\uparrow } \ a\ \dots \ a\ \underbrace {\uparrow _{}\!\!\dots \!\!\uparrow } \ a\\\quad \ \ \,n\qquad \ \ \ \underbrace {\quad n_{}\!-\!\!1\quad \ \,n\!-\!\!1\qquad \quad \ \ \ \,n\!-\!\!1\ \ \ } \\\qquad \qquad \quad \ \ b{\mbox{ kopioj de }}a\end{matrix}}$

Ekzemploj:

$3\uparrow \uparrow \uparrow 2=3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987$

${\begin{matrix}3\uparrow \uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow 3\uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow (3\uparrow 3\uparrow 3)=&\underbrace {3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} \\&3\uparrow 3\uparrow 3{\mbox{ kopioj de }}3\end{matrix}}{\begin{matrix}=&\underbrace {3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} \\&{\mbox{7,625,597,484,987 kopioj de 3}}\end{matrix}}$

Formala difino

Formale, la Suprenindikila Notacio de Knuth difineblas jene:

$a\uparrow ^{n}b=\left\{{\begin{matrix}a^{b},&{\mbox{se }}n=1;\\1,&{\mbox{se }}b=0;\\a\uparrow ^{n-1}(a\uparrow ^{n}(b-1)),&{\mbox{aliokaze}}\end{matrix}}\right.$

por ĉiuj $a,b,n$ se $b\geq 0,n\geq 1$.

La funkcio estas Dekstre-asocia, t.e. oni transformas ĝin de dekstre maldekstren, kaj en formulo, en kiu estas du aŭ pli da tiaj operatoroj, oni unue grupas la plej dektrajn. Ekzemple, $a\uparrow b\uparrow c=a\uparrow (b\uparrow c)$, sed ne $(a\uparrow b)\uparrow c$;

Se estus alie, la funkcio estus nenio pli nova ol ripeta potencigo. Ekzemple,
$3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}$ estas $3^{(3^{3})}=3^{27}=7625597484987$, sed se oni grupus de maldekstre, ĝi estus $\left(3^{3}\right)^{3}=27^{3}=19683$.

Se oni skribas $(a\uparrow ^{m})^{b}$ por la b-a funkcia potenco de la funkcio $f(n)=a\uparrow ^{m}n$, tio signifu $a\uparrow ^{n}b=(a\uparrow ^{n-1})^{b}1$.

Valoroj

Kalkuladoj de $2\uparrow ^{m}n$ povas esti skribitaj en senfinan tabelon. Oni metu la valorojn de n en la unuan horizontalan vicon kaj la valorojn de m en la unuan kolumnon. Jen la rezulta tabelo:

Valoroj de $2\uparrow ^{m}n$ = hyper(2, m + 2, n) = 2 → n → m

m\n	1	2	3	4	5	6	7	formula
0	2	4	6	8	10	12	14	$2n$
1	2	4	8	16	32	64	128	$2^{n}$
2	2	4	16	65536	$2^{65536}\approx 2.0\times 10^{19,729}$	$2^{2^{65536}}\approx 10^{6.0\times 10^{19,728}}$	$2^{2^{2^{65536}}}\approx 10^{10^{6.0\times 10^{19,728}}}$	$2\uparrow \uparrow n$
3	2	4	65536	${\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\65536{\mbox{ kopioj de }}2\end{matrix}}\approx (10\uparrow )^{65531}(6.0\times 10^{19,728})$				$2\uparrow \uparrow \uparrow n$
4	2	4	${\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\65536{\mbox{ kopioj de }}2\end{matrix}}$					$2\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n$

Jen simila tabelo por $3\uparrow ^{m}n$:

Valoroj de $3\uparrow ^{m}n$ = $3\uparrow ^{m}n$ = hyper(3, m + 2, n) = 3 → n → m

m\n	1	2	3	4	5	formula
0	3	6	9	12	15	$3n$
1	3	9	27	81	243	$3^{n}$
2	3	27	7,625,597,484,987	$3^{7,625,597,484,987}$		$3\uparrow \uparrow n$
3	3	7,625,597,484,987	${\begin{matrix}\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\7,625,597,484,987{\mbox{ kopioj de }}3\end{matrix}}$			$3\uparrow \uparrow \uparrow n$
4	3	${\begin{matrix}\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\7,625,597,484,987{\mbox{ kopioj de }}3\end{matrix}}$				$3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n$

kaj simile por $10\uparrow ^{m}n$:

Valoroj de $10\uparrow ^{m}n$ = hyper(10, m + 2, n) = 10 → n → m

m\n	1	2	3	4	5	formula
0	10	20	30	40	50	$10n$
1	10	100	1,000	10,000	100,000	$10^{n}$
2	10	10,000,000,000	$10^{10,000,000,000}$	$10^{10^{10,000,000,000}}$	$10^{10^{10^{10,000,000,000}}}$	$10\uparrow \uparrow n$
3	10	${\begin{matrix}\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\10{\mbox{ kopioj de }}10\end{matrix}}$	${\begin{matrix}\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\10^{10}{\mbox{ kopioj de }}10\end{matrix}}$	${\begin{matrix}\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\10^{10^{10}}{\mbox{ kopioj de }}10\end{matrix}}$		$10\uparrow \uparrow \uparrow n$
4	10	${\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\10{\mbox{ kopioj de }}10\end{matrix}}$	${\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\10^{10}{\mbox{ kopioj de }}10\end{matrix}}$			$10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n$

Limoj

La nombroj, kiujn oni povas skribi per la Notacio de Knuth, jam estas enormaj, sed en matematiko ekzistas nombroj, por kiuj eĉ ĝi ne sufiĉas. Por ili oni uzas operatoron de n-obla suprenindikilo, kiun oni skribas kiel $\uparrow ^{n}$. Uzeblas ankaŭ hiper-operatoro. Sed ekzistas nombroj tiom nekredeble grandaj, ke eĉ tio ne sufiĉas. Ekzemple, por nombro de Graham oni bezonus turon de 64 tavoloj de potencaj simboloj, se oni volus skribi ĝin per la Notacio de Knuth. En tiuj okazoj oni uzu eĉ pli ĝeneralitajn sistemojn, kiel ĉena indikila skribmaniero de Conway. En la notacio de Conway ĉenoj de tri nombroj estas pli-malpli same potencaj kiel $\uparrow ^{n}$, sed ĉenoj de 4 aŭ pli numeroj estas ege pli potencaj:

${\begin{matrix}a\uparrow ^{n}b&=&{\mbox{hyper}}(a,n+2,b)&=&a\to b\to n\\{\mbox{(Knuth)}}&&&&{\mbox{(Conway)}}\end{matrix}}$

Plej kutime matematikistoj uzas notacion de Knuth por relative "malgrandaj" nombroj, kaj por pli grandaj oni uzas notacion de Conway aŭ hiper-operatorojn.

Vidu ankaŭ

• Ĉena indikila skribmaniero de Conway
• Notacio de Cutler
• Hiper-operatoro

Ligoj

• Knuth, Donald E., "Coping With Finiteness", Science vol. 194 n. 4271 (Dec 1976), pp. 1235-1242.
• Eric W. Weisstein, Arrow Notation en MathWorld.
• Robert Munafo, Large Numbers