Parametra derivaĵo

En kalkulo, parametra derivaĵo estas derivaĵo kiu estas kalulata se ambaŭ variabloj x kaj y (sendependa kaj dependa, respektive) dependas de sendependa tria variablo t,.

Ekzemple, konsideru funkciojn

$x(t)=4t^{2}\,$

kaj

$y(t)=3t.\,$

La unua derivaĵo de ili estas:

${\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}={\frac {{\dot {y}}(t)}{{\dot {x}}(t)}},$

kie ${\dot {x}}(t)$ signifas derivaĵon de x de t. Por kompreni kial la derivaĵo aspektas tiamaniere, memoru la ĉenan regulon por derivaĵoj:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}\cdot {\frac {dt}{dx}},$

aŭ

${\frac {dy}{dx}}={\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}.$

Pli formale, per la ĉena regulo:

${\frac {dy}{dt}}={\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}$

kaj dividante ambaŭ flankojn per ${\frac {dx}{dt}}$ oni faras la pli supran ekvacion.

Kiam oni diferencialas ambaŭ funkciojn de t, oni finiĝas kun

${\frac {dx}{dt}}=8t$

kaj

${\frac {dy}{dt}}=3,$

respektive. Enigante ĉi tion en la formulon por la parametra derivaĵo, oni ricevas la jenon

${\frac {dy}{dx}}={\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}={\frac {3}{8t}},$

kie ${\dot {x}}$ kaj ${\dot {y}}$ estas estas funkcioj de t.

La dua derivaĵo de parametra ekvacio estas donita per

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$	$={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)$
	$={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)\cdot {\frac {dt}{dx}}$
	$={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}\right){\frac {1}{\dot {x}}}$
	$={\frac {{\dot {x}}{\ddot {y}}-{\dot {y}}{\ddot {x}}}{{\dot {x}}^{3}}}$

per uzo de la rilata regulo por derivaĵoj. La lasta rezulto estas utila en la kalkulado de kurbeco.

Vidu ankaŭ

• Derivaĵo (ĝeneraligoj)