Principo de reflektado

En probabloteorio kaj stokastikaj procezoj, la reflektadprincipo por Wiener-procezo deklaras ke se la pado de Wiener-procezo $f(t)$ atingi valoron $f(s)=a$ en tempo $t=s$, tiam la posta vojo post tempo $s$ havas la saman distribuon kiel la reflektado de la posta vojo sur la valoro $a$ . Pli formale, la principo de reflektado rilatas al lemo koncerne la distribuadon de la suprema de la Wiener-procezo, ankaŭ nomita Browniana moviĝo . La rezulto rilatigas la distribuadon de la suprema de la Browniana movo al la tempo $t$ kun la distribuo de la procezo en tempo $t$ . Ĝi estas konsekvenco de la forta Markov-posedaĵo de Brownia moviĝo.

Aserto

se $(W(t):t\geq 0)$ estas Wiener-procezo $a>0$ estas sojlo (ankaŭ nomita krucpunkto), tiam la lemo diras:

$\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)=2\mathbb {P} (W(t)\geq a).$

Pli forte, la principo de pripensado deklaras ke se $\tau$ estas halta tempo, tiam la reflekto de la Wiener-procezo komencanta je $\tau$, indikita $(W^{\tau }(t):t\geq 0)$, ankaŭ estas Wiener-procezo, kie:

$W^{\tau }(t)=W(t)\chi _{\left\{t\leq \tau \right\}}+(2W(\tau )-W(t))\chi _{\left\{t>\tau \right\}}$

kaj la indikila funkcio $\chi _{\{t\leq \tau \}}={\begin{cases}1,&{\text{se }}t\leq \tau \\0,&{\text{de outro modo }}\end{cases}}$ Ĝi estas $\chi _{\{t>\tau \}}$ estas difinitaj simile. La plej forta formo implicas la originalan moton dum elektado $\tau =\inf \left\{t\geq 0:W(t)=a\right\}$ .

Pruvo

La plej frua halttempo por atingi la interkruciĝpunkton $a$, $\tau _{a}:=\inf \left\{t:W(t)=a\right\}$, estas preskaŭ certe limigita halttempo. Tiam ni povas apliki la fortan Markov-econ por dedukti ke posta relativa vojo al $\tau _{a}$, donita de $X_{t}:=W(t+\tau _{a})-a$, estas ankaŭ simpla Brownia movo sendependa de ${\mathcal {F}}_{\tau _{a}}^{W}$ . Do la probabla distribuo por la lasta fojo $W(s)$ estas sur la sojlo $a$ aŭ super ĝi en la tempointervalo $[0,t]$ kaj povas esti malkomponita kiel:

${\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)&=\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,W(t)\geq a\right)+\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,W(t)<a\right)\\&=\mathbb {P} \left(W(t)\geq a\right)+\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,X(t-\tau _{a})<0\right)\\\end{aligned}}.$

Per la turo por kondiĉaj atendoj, la dua termino reduktas al:

${\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,X(t-\tau _{a})<0\right)&=\mathbb {E} \left[\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,X(t-\tau _{a})<0|{\mathcal {F}}_{\tau _{a}}^{W}\right)\right]\\&=\mathbb {E} \left[\chi _{\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a}\mathbb {P} \left(X(t-\tau _{a})<0|{\mathcal {F}}_{\tau _{a}}^{W}\right)\right]\\&={\frac {1}{2}}\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right),\end{aligned}}$

donita tion $X(t)$ estas norma Brownia movo sendependa de ${\mathcal {F}}_{\tau _{a}}^{W}$ kaj havas probablecon $1/2$ esti malpli ol $0$ . La pruvo de la lemo estas kompletigita per anstataŭigado de tio en la duan linion de la unua ekvacio:

${\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)&=\mathbb {P} \left(W(t)\geq a\right)+{\frac {1}{2}}\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)\\\mathbb {P} \left(\sup _{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)&=2\mathbb {P} \left(W(t)\geq a\right)\end{aligned}}.$

Konsekvencoj

La reflektadprincipo estas ofte uzata por simpligi distribuajn trajtojn de Browniana moviĝo. Konsiderante Brownian moviĝon en la limigita intervalo $(W(t):t\in [0,1])$, tiam la principo de reflektado permesas al ni pruvi, ke la loko de maksimumoj $t_{\text{max}}$, kiuj kontentigas $W(t_{\text{max}})=\sup _{0\leq s\leq 1}W(s)$, havas la arksinusan distribuon. Tio estas unu el la arksinuoj de Lévy.

Vidu ankaŭ

• Reflekto