Simbolo de Legendre

La símbolo de Legendre, $\left({\frac {a}{p}}\right)$, estas multiplika funkcio uzata en nombroteorio, pri kiu argumentoj estas entjera nombro $a$ kaj prima nombro $p$, kaj valoras 1, -1 aŭ 0, dependante ĉu $a$ estas, aŭ ne, kvadrata restaĵo module $p$, ĉi tiu difinita per la kongrua rilato inter a kaj estanta, aŭ ne, nombro x, tielmaniere ke:

$x^{2}\equiv a{\pmod {p}}$.

Tiu simbolo estis kreita de Adrien-Marie Legendre en 1798.

La Jakobia simbolo estas ĝeneraligo de simbolo de Legendre, pri kiu p estas iu ajn pozitiva nepara nombro.

Difino

Konsiderante ĉiuj entjerojn $a$ kaj ĉiuj neparaj primojn $p$, simbolo de Legendre $({\frac {a}{p}})$ estas difinita per:

$\left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}\;\;\,1{\text{ se }}a{\text{ estas kvadrata restaĵo laŭ modulo}}\ p{\text{ kaj }}a\not \equiv 0{\pmod {p}}\\-1{\text{ se }}a{\text{ ne estas kvadrata restaĵo laŭ modulo}}\ p\\\;\;\,0{\text{ se }}a\equiv 0{\pmod {p}}{\text{ , t.e. }}a{\text{ estas oblo de}}\ p.\end{cases}}$

La origina difino de Legendre estis per la eksplicita formulado:

$\left({\frac {a}{p}}\right)\equiv a^{(p-1)/2}{\pmod {p}}\;\;{\text{ kaj }}\left({\frac {a}{p}}\right)\in \{-1,0,1\}\ .$

Laŭ la kriterio de Eŭlero, kiu estis eltrovita antaŭe kaj estis konita de Legendre, tiuj du supraj difinoj estas ekvivalentaj.

Ekzemploj

* 2 estas kvadrata restaĵo modulo 7, ĉar $2\equiv 3^{2}{\pmod {7}}$, kaj la kalkulo laŭ la difino de Legendre kondukas al :

$\left({\frac {2}{7}}\right)\equiv 2^{\frac {7-1}{2}}=2^{3}\equiv 1\mod 7\ .$

* 5 ne estas kvadrata restaĵo modulo 7 :

$\left({\frac {5}{7}}\right)\equiv 5^{\frac {7-1}{2}}=5^{3}\equiv 6\equiv -1\mod 7\ .$

* 14 estas dividebla per 7 :

$\left({\frac {14}{7}}\right)\equiv 14^{\frac {7-1}{2}}=14^{3}\equiv 0\mod 7\ .$

Proprecoj

• $\left({\frac {ab}{p}}\right)=\left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {b}{p}}\right)$ (la simbolo de Legendre estas do multiplika funkcio rilate al sia supera argumento);

fakte, $\left({\frac {ab}{p}}\right)=(ab)^{\frac {p-1}{2}}=a^{\frac {p-1}{2}}b^{\frac {p-1}{2}}=\left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {b}{p}}\right)$.

• Se $a\equiv b{\pmod {p}}$, do $\left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {b}{p}}\right)$.
• $\left({\frac {1}{p}}\right)=1$, ĉar 1 estas kvadrato si mem.
• $\left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\left({\frac {p-1}{2}}\right)}={\begin{cases}~~1{\text{ se }}p\equiv 1{\pmod {4}}\\-1{\text{ se }}p\equiv 3{\pmod {4}}.\end{cases}}$ (aparta kazo de -1).

• $\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\tfrac {p^{2}-1}{8}}={\begin{cases}~~1{\text{ se }}p\equiv 1{\text{ ou }}7{\pmod {8}}\\-1{\text{ se }}p\equiv 3{\text{ ou }}5{\pmod {8}}.\end{cases}}$ (aparta kazo de 2).

• $\left({\frac {a}{2}}\right)=1$ se $a$ estas nepara nombro, kaj $0$ se para.
• Se $q$ estas nepara primo, do $\left({\frac {q}{p}}\right)=\left({\frac {p}{q}}\right)(-1)^{\left({\frac {p-1}{2}}\right)\left({\frac {q-1}{2}}\right)};$

la lasta propreco estas konata sub la nomo de leĝo de kvadrata reciprokeco.

Eksteraj ligiloj

• (angle) Eric W. Weisstein, Legendre Symbol en MathWorld.
• (angle) Kalkulo de Jakobia simbolo kun ekzemploj Arkivigite je 2008-07-20 per la retarkivo Wayback Machine