Matrico de Hesse

En matematiko, la matrico de Hessian estas kvadrata matrico de duaj partaj derivaĵoj de skalaro-valora funkcio. Por reelo-valora funkcio

f(x₁, x₂, ..., x_n),

se ĉiuj partaj duaj derivaĵoj de f ekzistas, la matrico de Hessian de f estas matrico

H(f)_ij(x) = D_i D_j f(x)

kie x = (x₁, x₂, ..., x_n). Tio estas,

$H(f)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{n}}}\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}\end{bmatrix}}$

Miksitaj derivaĵoj kaj simetrio de la matrico

La miksitaj derivaĵoj de f estas la elementoj ne sur la ĉefa diagonalo en la matrico. Ofte, la ordo de diferencialado ne gravas. Ekzemple:

${\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)$

Ĉi tio povas ankaŭ esti skribita kiel:

$\partial _{xy}f=\partial _{yx}f$

Se la ĉiuj duaj derivaĵoj de f estas kontinuaj en regiono D, do la matrico de Hessian de f estas simetria matrico en D. (Vidu en simetrio de duaj derivaĵoj.)

Kritikaj punktoj kaj diskriminanto

Se la gradiento de f (kio estas ĝia derivaĵo en la vektoro senco) estas nulo je iu punkto x, tiam f havas kritikan punkton je x. La determinanto de la matrico de Hessian je x estas tiam nomata kiel la diskriminanto. Se ĉi tiu determinanto estas nulo tiam x estas degenera kritika punkto de f. Alie ĝi estas ne degenera.

Dua derivaĵa provo

Jena provo povas esti aplikita je ne-degenera kritika punkto x. Se la matrico de Hessian estas pozitive difinita matrico je x, tiam f atingas lokan minimumon je x. Se la matrico de Hessian estas negative definita je x, tiam f atingas lokan maksimumon je x. Se la matrico de Hessian havas ambaŭ pozitivan kaj negativan ajgenojnn tiam x estas sela punkto por f (ĉi tio estas vera eĉ se x estas degenera). Alie la provo ne donas rezulton.

Por pozitive duondifina kaj negative duondifina matricoj de Hessian la provo estas ne donas rezulton. Tamen, io plua povas esti dirita de la punkto de vido de morsa teorio.

La dua derivaĵa provo]por funkcioj de unu kaj du variabloj estas simpla. En unu variablo, la matrico de Hessian enhavas nur unu duan derivaĵon; se ĝi estas pozitiva tiam x estas loka minimumo, se ĝi estas negativa tiam x estas loka maksimumo; se ĝi estas nulo tiam la provo ne donas rezulton. En du variabloj, la diskriminanto povas esti uzata, ĉar la determinanto estas produto de la ajgenoj. Se ĝi estas pozitiva tiam la ajgenoj estas ambaŭ pozitivaj, aŭ ambaŭ negativaj. Se ĝi estas negativa tiam la du ajgenoj havas malsamajn signojn. Se ĝi estas nulo, tiam la dua derivaĵa provo ne donas rezulton.

Vektoro-valoraj funkcioj

Se f estas vektoro-valora, kio estas

f=(f₁, ..., f_n),

tiam la tabelo de duaj partaj derivaĵoj estas ne matrico sed tensoro de rango 3.

Vidu ankaŭ

• Gradiento - vektoro de la unuaj derivaĵoj de skalaro-valora funckio
• Jakobia matrico - matrico de la unuaj derivaĵoj de vektoro-valora funckio
• Serio de Taylor - la matrico de Hessian aperas en serio de Taylor de funkcio de kelkaj variabloj