Stabileco de dinamika sistemo

El Vikipedio, la libera enciklopedio
(Alidirektita el Asimptota stabileco)
Saltu al: navigado, serĉo

En matematiko kaj rega teorio, la stabileco estas propraĵo kiun povas havi dinamika sistemo.

Se ĉiuj solvaĵoj de la dinamika sistemo kiuj komenciĝas proksime al ekvilibra punkto xe restas proksime de xe eterne, do xe estas lapunova stabila. Pli forte, se xe estas lapunova stabila kaj ĉiuj solvaĵoj kiuj komenciĝas proksime al xe konverĝas al xe, do xe estas asimptote stabila. La okazo de eksponenta stabileco garantias minimuman kurzon de konverĝo, kio estas, pritakso de tio kiel rapide la solvaĵoj konverĝas.

La ideo de lapunova stabileco povas esti etendita al malfinidimensiaj duktoj, kie ĝi estas sciata kiel struktura stabileco, kiu koncernas la konduton de malsamaj sed apudaj solvaĵoj al diferencialaj ekvacioj.

La lapunova stabileco estas nomita laŭ Aleksandr Miĥajloviĉ Lapunov (ru:Александр Михайлович Ляпунов).

Difino por kontinuo-tempaj sistemoj[redakti | redakti fonton]

Estu aŭtonoma dinamika sistemo (ĝenerale nelineara)

\frac{d\mathbf{x}}{dt}=f(\mathbf{x})

kie \mathbf{x}(t) \in \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R}^n estas la sistema stata vektoro;

\mathcal{D} estas malfermita aro enhavanta la fonton de koordinatoj;
f: \mathcal{D} \rightarrow \mathbb{R}^n estas kontinua sur \mathcal{D}.

Supozu ke f havas ekvilibran pukton xe. Sen malprofito al universaleco, oni povas alpreni ke ĝi estas je la fonto de koordinatoj. En la alia okazo oni trairu al konsidero de la nova stata vektoro u= x-xe.

  • La ekvilibra pukto de la sistemo estas lapunova stabila, se, por ĉiu ε>0 tie ekzistas δ(ε)>0 tia ke, se ||x(t0)||<δ, do ||x(t)||<ε, por ĉiu t≥t0.
  • La ekvilibra pukto de la sistemo estas asimptote stabila se ĝi estas lapunova stabila kaj se tie ekzistas δ>0 tia ke se ||x(t0)||<δ, do \lim_{t \rightarrow \infty}\mathbf{x}(t) = 0.
  • La ekvilibra pukto de la sistemo estas eksponente stabila se ĝi estas asimptote stabila kaj se tie ekzistas valoroj α, β, δ, α>0, β>0, δ>0, tiaj ke se ||x(t0)||<δ, do ||x(t)|| ≤ α||x(t0)||e-β(t-t0), por t≥t0. Eksponenta stabileco signifas ke solvaĵoj ne nur konverĝas, sed fakte konverĝas almenaŭ same rapide kiel aparta sciata kurzo de eksponenta funkcio α||x(t0)||e-β(t-t0).
  • La ekvilibra pukto de la sistemo estas lapunova malstabila, se, ekzistas ε>0, tia ke por ĉiu δ>0 tia ke, tie ekzistas x0, ||x0||<δ, tiaj ke se x(t0)=x0, do ||x(t)||≥ε, por iu t≥t0.

La trajektorio x estas (loke) alloga se

||y(t)-x(t)|| → 0

kun t → ∞ por ĉiuj trajektorioj kiuj startas sufiĉe proksime, kaj malloke alloga se ĉi tiu propraĵo veras por ĉiuj trajektorioj.

Tio estas, se x apartenas al la eno de ĝia stabila dukto. Ĝi estas asimptote stabila se ĝi estas ambaŭ alloga kaj stabila. Estas kontraŭekzemploj montrantaj ke allogeco ne implicas asimptotan stabilecon. Ĉi tia kontraŭekzemplo povas ekzemple enhavi unuekvilibran orbiton.

Se la dinamika sistemo estas neaŭtonoma (kio estas, ĝia konduto dependas de tempo)

\frac{d\mathbf{x}}{dt}=f(\mathbf{x}, t)

do aparta nocio de uniforma lapunova stabileco povas esti konsiderata. Tiam:

  • La ekvilibra pukto de la sistemo estas lapunova stabila, se, por ĉiu ε>0 kaj t0>0, tie ekzistas δ(ε, t0)>0 tia ke, se ||x(t0)||<δ, do ||x(t)||<ε, por ĉiu t≥t0.
  • Por tio ke la ekvilibra pukto de la sistemo estas uniforma lapunova stabila la difino estas la sama kiel la antaŭa por lapunova stabila krom tio ke δ ne dependas de t0, kaj dependas de nur ε. Tiel, la ekvilibra pukto de la sistemo estas uniforma lapunova stabila, se, por ĉiu ε>0, tie ekzistas δ(ε)>0 tia ke, se ||x(t0)||<δ, do ||x(t)||<ε, por ĉiu t≥t0.

Difino por diskreto-tempaj sistemoj[redakti | redakti fonton]

La difino por diskreto-tempaj sistemoj estas preskaŭ identa al tiu por kontinuo-tempaj sistemoj. La difino pli sube provizas ĉi tiu, uzanta alterna lingvo kutime uzita en pli matematikaj tekstoj.

Estu (X, d) metrika spaco kaj f : X → X estu kontinua funkcio. Punkto x en X estas lapunova stabila se, por ĉiu ε>0, estas δ>0 tia ke por ĉiu y en X, se d(x, y) < δ do

d(fn(x), fn(y)) < ε

por ĉiu entjera n≥1, kie fn estas la n-a funkcia potenco (ripetita apliko de la funkcio).

x estas asimptote stabila se ĝi apartenas al la eno de ĝia stabila aro, kio estas ke estas δ>0 tia ke se d(x, y) < δ do

\lim_{n\to\infty} d(f^n(\mathbf{x}), f^n(\mathbf{y}))=0

Stabileco de linearaj sistemoj[redakti | redakti fonton]

Lineara sistemo

\frac{d\mathbf{x}}{dt}=A\mathbf{x}

estas asimptote stabila (fakte, eksponente stabila) se ĉiuj reelaj partoj de la ajgenoj de A estas negativaj. Ĉi tiu kondiĉo estas ekvivalento al la sekva:

ATM + MA + N = 0

havas solvaĵon kie N = NT > 0 kaj M = MT > 0 (pozitive difinitaj difinitaj matricoj). La taŭga lapunova funkcio (por la lapunova dua teoremo pri stabileco, vidu sube) estas tiam V(x) = xTMx .

Tio ke reelaj partoj de la ajgenoj λi de A estas negativaj signifas ke konduto de la sistemo estas simila al estingiĝanta eksponenta funkcio

αe-βt kun β>0, β=-Re(λi)

aŭ al eksponente estingiĝanta oscilanta funkcio

αe-βtsin(ωt+φ) kun β>0, β=-Re(λi)

Respektive, en diskreta tempo, lineara sistemo

xt+1 = Axt

estas asimptote stabila (fakte, eksponente stabila) se ĉiu el la ajgenoj de A havas absolutan valoron pli malgrandan ol 1.

Ĉi tiu lasta kondiĉo havas estas ĝeneraligita por reŝaltanta sistemoj: lineara reŝaltanta diskreta tempa sistemo regata per aro de matricoj {A1, ..., Am}

{\mathbf{x}_{t+1}} = A_{i_t}\mathbf{x}_t,\quad A_{i_t} \in \{A_1, \dots, A_m\}

estas asimptote stabila (fakte, eksponente stabila) se la kuna spektra radiuso de la aro {A1, ..., Am} estas pli malgranda ol 1.

Konsidero de stabileco per lineara proksimumigo[redakti | redakti fonton]

Estu sistemo kun ekvilibra punkto xe

\frac{d\mathbf{x}}{dt}=f(\mathbf{x})

Kun uzo de la lineara proksimumigo de f(x) per serio de Taylor ĉirkaŭ xe, la sistemo estas priskribata kiel

 \frac{d\mathbf{x}}{dt}=f(\mathbf{x}_e)+\frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial \mathbf{x}}|_{\mathbf{x}=\mathbf{x}_e} \cdot (\mathbf{x}-\mathbf{x}_e)+O((\|\mathbf{x}-\mathbf{x}_e\|)^2)

kie O estas la granda O;

la parta derivaĵo  \frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial \mathbf{x}}|_{\mathbf{x}=\mathbf{x}_e} estas la jakobia matrico.

Estu matrico  A=\frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial \mathbf{x}}|_{\mathbf{x}=\mathbf{x}_e}

Tiam konsideru la proksimumigan linearan sistemon

 \frac{d \mathbf{\xi}}{dt}=A\mathbf{\xi}
  • Se reelaj partoj de ĉiuj ajgenoj de A estas negativaj do la proksimumiga lineara sistemo estas stabila kaj la ekvilibro ĉe xe estas stabila.
  • Se ekzistas almenaŭ unu ajgeno de A kun pozitiva reela parto do la proksimumiga lineara sistemo estas malstabila kaj la ekvilibro ĉe xe estas malstabila.
  • Se ekzistas almenaŭ unu ajgeno de A kun nula reela parto, kaj reelaj partoj de ĉiuj la aliaj ajgenoj de A estas negativaj, do per ĉi tiu maniero ne eblas konkludi ĉu xe estas stabila. En ĉi tiu okazo gravas tiu parto de la funkcio f kiu estas priskribita per la granda O en la lineara proksimumigo.

Ĉi tio estas la lapunova unua teoremo pri stabileco.

Lapunova dua teoremo pri stabileco[redakti | redakti fonton]

Estu funkcio V(x) : RnR tia ke

Tiam V(x) estas nomata kiel kandidato por la lapunova funkcio kaj la sistemo estas lapunova asimptote stabila.

Noto, ke la kondiĉo V(0)=0 estas postulata; alie V(x) = 1/(1+|x|) devus pruvi ke ĉiu \frac{d\mathbf{x}}{dt}=\mathbf{x} estas loke stabila.

Eblas vedebligi ĉi tiun manieron de analizo per konsiderado de fizika sistemo (ekzemple vibranta risorto kaj maso) kaj konsiderado de la energio de la sistemo. Se la sistemo perdas energion dum tempo kaj la energio estas neniam rekreata tiam eble la sistemo devas (grinci, knari, mueli) al halti kaj atingi iun finan kvietan stato. Ĉi tiu fina stato estas nomata kiel la altenaĵo.

Tamen, trovanta de funkcio kiu priskribas la faktan energion de fizika sistemo povas esti malfacile, kaj por abstraktaj matematikaj sistemoj, ekonomiaj sistemoj aŭ biologiaj sistemoj, la koncepto de energio povas ne esti aplikebla. La konsidero estas ke stabileco povas esti pruvita sen postulado de scio de la vera fizika energio, se iu lapunova funkcio povas troviĝi kiu kontentigas la kondiĉojn.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]