Hiperoperatoro

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

En matematiko, hiperoperatoro estas funkcio de tri argumentoj, aŭ familio de la hiper-n funkcioj de du argumentoj:

\textrm{hyper}(a,n,b) = \textrm{hyper} n (a, b) = a ^ {(n)} b = a \uparrow^{n-2} b = a \to b \to (n-2)

(Vidu en supren-saga skribmaniero de Knuth kaj ĉenita saga skribmaniero de Conway.)

Derivaĵo de la skribmaniero[redakti | redakti fonton]

La skribmaniero povas vidiĝi kiel konforma al la demando "kio estas venonta en ĉi tiu vico?":

Noto ke estas la rikuraj rilatoj:

  • a + b = 1 + (a + (b - 1))
  • a \times b = a + (a \times (b - 1))
  • a ^ b = a \times (a ^ {(b - 1)})

Okazo de n=0 estas konforma laŭ la postanta funkcio (adicio de 1).

La rikura difino de la hiperoperatoro estas:


 \textrm{hyper}(a,n,b)=
 \left\{
 \begin{matrix}
 b+1, & \mbox{se }n=0 \\
 a, & \mbox{se }n=1,b=0 \\
 0, & \mbox{se }n=2,b=0 \\
 1, & \mbox{se }n\ge 3,b=0 \\
 a ^ {(n-1)} ( a ^ {(n)} (b - 1)) & \mbox{se }n\ge 1,b\ge 1,a\ge 0
 \end{matrix}
 \right.

Ĉi tio donas ke:

\operatorname{hyper1} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, 1, b) = a ^ {(1)} b = a+b

\operatorname{hyper2} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, 2, b) = a ^ {(2)} b = ab

\operatorname{hyper3} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, 3, b) = a ^ {(3)} b = a^b

Por n=4 estas hyper4supereksponento, superpotencigo aŭ potenca turo:

{\operatorname{hyper4} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, 4, b) = a ^ {(4)} b = a \uparrow\uparrow b =a\to b\to 2 = \atop {\ }} \!\!\!\!\!\!\!{{\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}} \atop {b\mbox{ kopioj de }a}}

La alia skribmaniero por supereksponento estas

\operatorname{hyper4}(a,b)={}^{b}a

Ekzemplo de uzo de la rikura difino:

3^{(4)}3=3^{(3)}(3^{(4)}2) = 3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(4)}1)) = 3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(4)}0)) = 3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(3)}1)) = 3^{3^{3^{1}}} = 3^{27} = 7625597484987

La familio ne estas etendita de naturaj nombroj al reelaj nombroj ĝenerale por n>3, pro neasocieco en la "evidenta" vojoj de farante ĝi.

Pritakso de maldekstro al dekstro[redakti | redakti fonton]

Alternativo por ĉi tiuj operatoroj estas ricevita per pritakso de de maldekstro al dekstro. Estu (kun subaj indicoj anstataŭ supraj indicoj)

a_{(n+1)}b = (a_{(n+1)}(b-1))_{(n)}a

kun

a_{(1)}b = a+b
a _ {(2)} 0 = 0
a _ {(n)} 0 = 1 por n>2

Pro tio ke

a+b = (a+(b-1))+1
a\times b = (a\times (b-1))+a
a^b = (a^{(b-1)})\times a

rezultiĝas ke a^{(n)}b = a_{(n)}b por n≤3.

Sed ĉi tiu formo ne donas la potencan turon tradicie atendatan de hyper4:

a_{(4)}b = a^{(a^{(b-1)})}

Kial povas a^{(n)}b estas la sama kiel a_{(n)}b por n≤3, sed malsama por n>3? Ĉi tio estas pro simetrio (asocieco) de adicio kaj multipliko, sed kiu potencigo ne estas simetria.

Vidu ankaŭ[redakti | redakti fonton]

Eksteraj ligiloj[redakti | redakti fonton]