Hiperoperatoro

En matematiko, hiperoperatoro estas funkcio de tri argumentoj, aŭ familio de la hiper-n funkcioj de du argumentoj:

$\textrm{hyper}(a,n,b) = \textrm{hyper} n (a, b) = a ^ {(n)} b = a \uparrow^{n-2} b = a \to b \to (n-2)$

(Vidu en supren-saga skribmaniero de Knuth kaj ĉenita saga skribmaniero de Conway.)

Derivaĵo de la skribmaniero

La skribmaniero povas vidiĝi kiel konforma al la demando "kio estas venonta en ĉi tiu vico?":

• adicio (+)
• multipliko (×)
• potencigo (^)

Noto ke estas la rikuraj rilatoj:

• $a + b = 1 + (a + (b - 1))$
• $a \times b = a + (a \times (b - 1))$
• $a ^ b = a \times (a ^ {(b - 1)})$

Okazo de n=0 estas konforma laŭ la postanta funkcio (adicio de 1).

La rikura difino de la hiperoperatoro estas:

$\textrm{hyper}(a,n,b)= \left\{ \begin{matrix} b+1, & \mbox{se }n=0 \\ a, & \mbox{se }n=1,b=0 \\ 0, & \mbox{se }n=2,b=0 \\ 1, & \mbox{se }n\ge 3,b=0 \\ a ^ {(n-1)} ( a ^ {(n)} (b - 1)) & \mbox{se }n\ge 1,b\ge 1,a\ge 0 \end{matrix} \right.$

Ĉi tio donas ke:

$\operatorname{hyper1} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, 1, b) = a ^ {(1)} b = a+b$

$\operatorname{hyper2} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, 2, b) = a ^ {(2)} b = ab$

$\operatorname{hyper3} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, 3, b) = a ^ {(3)} b = a^b$

Por n=4 estas hyper4 aŭ supereksponento, superpotencigo aŭ potenca turo:

${\operatorname{hyper4} (a, b) = \operatorname{hyper}(a, 4, b) = a ^ {(4)} b = a \uparrow\uparrow b =a\to b\to 2 = \atop {\ }} \!\!\!\!\!\!\!{{\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}} \atop {b\mbox{ kopioj de }a}}$

La alia skribmaniero por supereksponento estas

$\operatorname{hyper4}(a,b)={}^{b}a$

Ekzemplo de uzo de la rikura difino:

$3^{(4)}3=3^{(3)}(3^{(4)}2) = 3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(4)}1)) = 3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(4)}0)) = 3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(3)}1)) = 3^{3^{3^{1}}} = 3^{27} = 7625597484987$

La familio ne estas etendita de naturaj nombroj al reelaj nombroj ĝenerale por n>3, pro neasocieco en la "evidenta" vojoj de farante ĝi.

Pritakso de maldekstro al dekstro

Alternativo por ĉi tiuj operatoroj estas ricevita per pritakso de de maldekstro al dekstro. Estu (kun subaj indicoj anstataŭ supraj indicoj)

$a_{(n+1)}b = (a_{(n+1)}(b-1))_{(n)}a$

kun

$a_{(1)}b = a+b$

$a _ {(2)} 0 = 0$

$a _ {(n)} 0 = 1$ por n>2

Pro tio ke

$a+b = (a+(b-1))+1$

$a\times b = (a\times (b-1))+a$

$a^b = (a^{(b-1)})\times a$

rezultiĝas ke $a^{(n)}b = a_{(n)}b$ por n≤3.

Sed ĉi tiu formo ne donas la potencan turon tradicie atendatan de hyper4:

$a_{(4)}b = a^{(a^{(b-1)})}$

Kial povas $a^{(n)}b$ estas la sama kiel $a_{(n)}b$ por n≤3, sed malsama por n>3? Ĉi tio estas pro simetrio (asocieco) de adicio kaj multipliko, sed kiu potencigo ne estas simetria.

Vidu ankaŭ

• Akermana funkcio
• Supereksponento
• Supren-saga skribmaniero de Knuth
• Ĉenita saga skribmaniero de Conway
• Skribmaniero de Steinhaus-Moser

Eksteraj ligiloj

    Robert Munafo, La Vortaro de Grandaj Nombroj

    Studo de Lynz kaj Clarkkkkson (tre granda nombro)