Momanto (statistiko)

En statistiko, la momantoj estas mezuroj de distribua funkcio de hazarda variablo. Ili kongruas al la parametroj de la priskriba statistiko.

La momanto de grado k>0 pri hazarda variablo X estas, se ekzistas, la atendata valoro de X^k , t.e. : $m_k = \operatorname{E}[X^k] \ .$

Centraj momantoj

Centra momanto de grado $k \geq 0$ pri hazarda variablo X estas la nombro $\mu_k = \operatorname{E}[\left(X-\operatorname{E}[X]\right)^k] \ .$

La 0-a centra momanto $\mu_0 \$ egalas al 1, dum la 1-a centra momanto $\mu_1 \$ egalas al 0.

Rimarkindaj momantoj

Pozitiva asimetriokoeficiento V

Negativa asimetriokoeficiento V

Kurtosisojn $\gamma_2$ pri malsamaj probablodensaj funkcioj, sed kun sama varianco; la nigra kurbo estas la normala distribuo.

Iaj momantoj estas konitaj per apartaj nomoj. Ili estas kutime uzataj por karakterizi hazardan variablon.

• La unua momanto de variablo: $m_1 = \operatorname{E}[X]$ , ofte notata $\mu \$ aŭ iam $m \$, simple kongruas al la atendita valoro.

• La dua centra momanto: $\mu_2 = \operatorname{E}[(X-\mu)^2]$, ofte notata $\sigma^2 \$, $\sigma_X^2$, $\operatorname{var}(X)$, kongruas al la varianco.

• La tria norma centra momanto: $\gamma_1 = \frac {\mu_3} {\sigma^3} = \operatorname{E} \left[ \left(\frac{X-\mu}{\sigma} \right)^3 \right] \$, kongruas al la asimetriokoeficiento. Ĝi permesas mezuri asimetrion de probablodistribuo, kaj estas pozitiva aŭ negativa; evidente, ĝi nulas pri (simetria) normala distribuo.

• La kvara norma centra momanto : $\beta_2 = \frac{\mu_4} {\sigma^4} = \operatorname{E}\left[\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)^4\right] \,$ kongruas al la kurtosiso (el greka termino, kiu signifas ŝvelo). Ĝi permesas mezuri diferencojn inter distribuokurboj; akra pinto kun longa vosto havas grandan kurtosison, aŭ runda supro kun mallonga vosto havas malgrandan kurtosison. Pri normala distribuo $\beta_2 = 3$, tial ke oni foje konsideras $\gamma_2 = \frac {\mu_4} {\sigma^4} - 3$, kiu estas aŭ pozitiva (granda kurtosiso), aŭ negativa (malgranda kurtosiso), aŭ nula ("kvazaŭ" normala distribuo).

Rilatoj inter ordinaraj kaj centraj momantoj

Oni povas skribi rilatojn inter la ordinaraj momantoj $m_k$ kaj la centraj momantoj $\mu_k$ . Sekvas ekzemploj ĝis k=4:

$\mu_2 = m_2 - m^2_1\, ,$

$\mu_3 = m_3 -3\,m_1\,m_2 + 2\,m^3_1\, ,$

$\mu_4 = m_4 -4\,m_1\,m_3 + 6\,m^2_1\,m_2 - 3m^4_1\, ;$

kaj

$m_2 = \mu_2 + m^2_1\, ,$

$m_3 = \mu_3 + 3\,m_1\mu_2 + m^3_1\, ,$

$m_4 = \mu_4 + 4\,m_1\mu_3 + 6\,m^2_1\mu_2 + m^4_1\, .$

Vidu ankaŭ

• Momanto