Glosaro de grafeoteorio

La artikolo estas parto de serio pri grafeoteorio.

Plej gravaj terminoj grafeo arbo subgrafeo ciklo kliko grado de vertico grado de grafeo Elektitaj klasoj de grafeoj plena grafeo plena dukolora grafeo kohera grafeo arbo grafeo dudividebla Fenda grafeo regula grafeo grafeo de Euler grafeo de Hamilton grafeo senrelifa pli... Grafeaj algoritmoj A* Bellman-Ford Dijkstry Fleury Floyd-Warshall Johnson Kruskal Prim traserĉado de grafeo – en larĝeco – en profundo plej proksima najbaro Problemoj prezentataj kiel grafeaj problemo de vojaĝisto problemo de ĉina leteristo problemo de marŝrutigado problemo de kunigado de geedzoj Aliaj kodo de Gray diagramo de Hasse kodo de Prüfer Reprezentado de grafeo Glosaro de grafeoteorio

Grafeoteorio estas kreska areo en matematika esplorado, kaj havas grandan fakan vortoprovizon. Kelkaj aŭtoroj uzas la saman vorton kun malsamaj signifoj. Aliaj aŭtoroj uzas malsamajn vortojn celante la saman aferon. Ĉi tiu paĝo provizas la superrigardon pri nuntempa terminaro de grafeoteorio kaj provas teni sin laŭeble ĝisdatigita kun la aktuala lingvouzo.

Fundamentaĵoj

Grafeo

Grafeo G konsistas el du tipoj de eroj, nome verticoj kaj eĝoj.

Vertico

Vertico estas la baza ero de grafeo. Oni simple desegnas vertico per punkto. La verticaro de G estas kutime signita de V(G), aŭ V se klarus, pri kiu grafeo temas . La ordo de grafeo estas la nombro de ĝiaj verticoj, t.e. |V(G)|.

Eĝo

Eĝo havas du finpunktojn (aŭ eĝojn, aŭ finverticojn) apartenantaj al la verticaro, kaj oni povas diri, ke eĝoj interkonektas aŭ kunligas tiujn du finpunktojn. Oni desegnis eĝon per linio konektanta la du finpunktojn. Eĝo kun finverticoj x kaj y estas signata per xy (sen ia ajn simbolo en intere, do, ne skribu x⋅y). La eĝaron de G oni kutime signas per E(G), aŭ E se klarus pri kiu grafeo temas. La grandeco de grafeo estas la nombro de eĝoj, t.e. |E(G)|.

Eĝoj povas havi direkton. Grafeo, kies eĝoj havas direkton, nomiĝas orientita grafeo, alie neorienta grafeo. Vidu sekcion Direkto.

La aro de eĝoj do oni povas difini kiel subaro de la familio de ĉiuj du-eraj aroj (por sendirekta eĝo) aŭ vicoj (por direkta eĝo) de verticoj. Ofte, tamen, la aro de verticoj estas konsiderata kiel aro, kaj estas incida rilato kiu atribuas ĉiun eĝon al la paro de verticoj kiuj estas ĝiaj finpunktoj.

Notindas, ke multaj naciaj lingvoj uzas malsaman terminon por êgo de orientita aŭ neorientita grafo. Tio ne aspektas utila, ĉar sufiĉas aldoni taŭgan adjektivon en la maloftaj okazoj, kiam distingo estas bezonata.

Alternativaj modeloj de grafeo ekzistas; ekz., oni povas grafeon konsideras kiel Bulea duuma funkcio super ties verticaro aŭ kiel kvadrata (0,1)-matrico.

Rilatataj vortoj

Ĉeno estas opo da eĝoj, ke ĉiu eĝo havas komunan finpunkton kun la antaŭ eĝo, kaj alian komunan finpunkton kun la sekva eĝo. La finpunktojn de la ĉeno oni nomas la unua finpunkto de la unua eĝo kaj la lasta finpunkto de la lasta eĝo.

Ciklo estas tia simpla ĉeno, ke la du finpunktojn estas la sama vertico. Ligo havas du klarajn finverticojn. Eĝo estas multobla se estas alia eĝo kun la samaj finverticoj; alie ĝi estas simpla.

La obleco de eĝo estas la nombro de aliaj eĝoj kunhavantaj la samajn finverticojn; la obleco de grafeo estas la maksimuma obleco de ĝiaj eĝoj. Grafeo estas simpla grafeo se ĝi havas neniun multoblan eĝon nek multoblan ciklon, plura grafeo se ĝi havas multoblajn eĝojn, sed ne ciklojn, kaj plura grafeo aŭ pseŭdografeo se ĝi enhavas kaj multoblajn eĝojn kaj ciklojn (la literaturo estas alte nekonsekvenca). Kiam dirite sen ia kondiĉo, grafeo estas preskaŭ ĉiam alprenita esti simpla — aŭ oni devas juĝi laŭ la ĉirkaŭteksto.

Markado de grafeo kutime signifas la asignon de unikaj markoj (kutime naturaj nombroj) al la eĝoj kaj verticoj de grafeo. Grafeoj kun markitaj (etikeditaj) eĝoj aŭ verticoj estas nomataj kiel markitaj (etikeditaj), tiuj sen ĉi tio estas nemarkitaj. Pli aparte, grafeoj kun markitaj verticoj nur estas vertico-markitaj, tiuj kun markitaj eĝoj nur estas eĝo-markitaj. (Ĉi tiu uzado estas por distingi inter grafeoj kun identigeblaj verticoj aŭ lateraj aroj unuflanke, kaj izomorfiaj tipoj aŭ klasoj de grafeoj aliflanke.)

La ekzempla grafeo bildita dekstre estas simpla grafeo kun verticaro V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kaj eĝaro E.

Hipereĝo estas eĝo kiu estas permesita alpreni iom ajn da verticoj, eĉ pli ol 2. Grafeo, kiu permesas hipereĝon estas nomita hipergrafeo. Simplan grafeon oni povas konsideri kiel speciala kazo de la hipergrafeo, nome hipergrafeo kies ĉiu eĝo havas du finpunktojn. Tamen, kiam komencita sen ia kondiĉo, eĝoj estas ĉiam alprenita konsisti el maksimume 2 verticoj, kaj grafeo estas neniam konfuzita kun hipergrafeo.

Mal-eĝo estas eĝo, kiu "estas ne tie". Pli formale, por du verticoj u kaj v, {u, v} estas mal-eĝo en grafeo G se (u, v) ne estas eĝo en G. Signifas, ke ne estas eĝo inter la du verticoj aŭ estas nur eĝo (v, u) de v al u se G estas direktita.

Mal-triangulo estas aro de tri verticoj tiaj, ke ne estas eĝo inter ili.

La komplemento ${\bar {G}}$ de grafeo G estas grafeo kun la sama vertica aro kiel G sed kun eĝaro kiu estas la komplemento de la eĝaro de G.

Seneĝa grafeo aŭ malplena estas grafeo eble kun iom ajn da verticoj aŭ neniom, kaj ne eĝoj. Nulgrafeo estas grafeo sen verticoj aŭ eĝoj. Alternative, ĝi signifas grafeon sen eĝoj sed kun $n$ da verticoj. Tiukaze oni eble diras "nulgrafeo kun $n$ verticoj".

Grafeo estas malfinia se ĝi havas malfinie da verticoj aŭ eĝoj aŭ ambaŭ; alie la grafeo estas finia. Malfinia grafeo kie ĉiu vertico havas finian gradon estas nomita loke finia. Kiam komencita sen ia kondiĉo, grafeo estas kutime alprenita esti finia.

Du grafeoj G kaj H estas izomorfiaj, signita per $G\sim H$, se estas dissurĵeta rilato, nomita izomorfio, inter verticoj de la grafeoj tia, ke du verticoj estas najbaraj en G se kaj nur se iliaj respektivaj verticoj estas najbaraj en H. Simile, grafeo G estas dirita esti homomorfia al grafeo H se estas surĵeto (mapado), nomita homomorfio, de V(G) al V(H) tia, ke du verticoj estas interapudaj en G se iliaj respektivaj verticoj estas interapudaj en H.

Subgrafeo

Subgrafeo de grafeo G estas grafeo kies verticaro kaj eĝaro estas subaroj de tiuj de G. En la mala direkto, supergrafeo de grafeo G estas grafeo, kiu enhavas G kiel subgrafeo. Ni diru, ke grafeo G enhavas alian grafeon H se H estas subgrafeo de G aŭ G estas izomorfia al H.

Subgrafeo H estas ampleksanta subgrafeo, aŭ faktoro, de grafeo G se ĝi havas la saman vertican aron kiel G. Ni diras ke H ampleksas G.

Subgrafeo H de grafeo G nomiĝas generita se, por iu ajn paro da verticoj x kaj y de H, xy estas eĝo de H se kaj nur se xy estas eĝo de G. En alia vortoj, H estas generita subgrafeo de G se ĝi havas la plej eĝoj kiuj aperas en G super la sama vertica aro. Se H estas elektita bazita sur vertica subaro S de V(G), tiam H povas esti skribita kiel G[S] kaj estas dirita esti generita de S.

Grafeo kiu ne enhavas H kiel generita subgrafeo estas dirita esti H-libera.

Universala grafeo en klaso K de grafeoj estas simpla grafeo en kiu ĉiu ero en K povas esti enigita kiel subgrafeo.

Marŝoj

Marŝo estas alternada vico (sinsekvo) de verticoj kaj eĝoj, komenciĝanta kaj finiĝanta ĉe vertico, en kiu ĉiu vertico estas incida al la du eĝoj kiuj antaŭvenas kaj sekvas ĝin en la vico, kaj la verticoj kiuj antaŭvenas kaj sekvas eĝon estas la finverticoj de tiu eĝo. Marŝo estas fermita se ĝia unua kaj lasta verticoj estas la samaj, kaj malfermita se ili estas malsamaj.

La longeco l de marŝo estas la nombro de eĝoj kiujn ĝi uzas. Por malfermita marŝo, l = n–1, kie n estas la nombro de verticoj vizitis. Por fermita marŝo, l = n (la komenca/fina vertico estas listita dufoje, sed estas ne grafita dufoje). En la ekzempla grafeo, (1, 2, 5, 1, 2, 3) estas malfermita marŝo kun longeco 5, kaj (4, 5, 2, 1, 5, 4) estas fermita marŝo de longeco 5.

Spuro estas marŝo en kiu ĉiuj eĝoj estas distingaj. Fermita spuro jam estas nomita vojaĝo aŭ cirkvito, sed ĉi tiuj estas ne universalaj, kaj la lasta estas ofte rezervita por regula subgrafeo de grado du.

Tradicie, vojo signifas tion kio nun kutime nomatas malfermita marŝo. Nuntempe, kiam komencita sen ia kondiĉo, vojo estas kutime difinita esti simpla, signifante, ke ĉiu vertico estas incida al maksimume du eĝoj. (La termino ĉeno jam ankaŭ uzatas por nomi marŝon en kiu ĉiuj verticoj (kaj eĝoj) estas distingaj.) En la ekzempla grafeo, (5, 2, 1) estas vojo de longeco 2. La fermita ekvivalento al ĉi tiu tipo de marŝo estas nomita ciklo. Kiel vojo, ĉi tiu termino tradicie signifas iun ajn fermitan marŝon, sed nun estas kutime komprenata esti simpla per difino. En la ekzempla grafeo, (1, 5, 2, 1) estas ciklo de longo 3. (Ciklo, malkiel vojo, estas ne permesita havi longecon 0.) Vojoj kaj cikloj de n verticoj estas ofte signataj per P_n kaj C_n, respektive. (Tamen, iuj aŭtoroj uzas la longon anstataŭ la nombron de verticoj.)

Ciklo kiu havas neparan longon estas nepara ciklo; alie ĝi estas para ciklo. Unu teoremo estas ke grafeo estas dupartida grafeo se kaj nur se ne ekzistas ia ajn nepara ciklo. (Vidu en kompleta dupartida grafeo.)

La maŝo (angle girth) de grafeo estas la longo de plej mallonga (simpla) ciklo en la grafeo; kaj la cirkonferenco, la longo de plej longa (simpla) ciklo. La maŝo kaj cirkonferenco de necikla grafeo estas difinitaj esti malfinio ∞.

Grafeo estas necikla se ĝi enhavas neniujn ciklojn; unucikla se ĝi enhavas ĝuste unu ciklon; kaj pancikla se ĝi enhavas ciklojn de ĉiu ebla longo (de 3 ĝis la ordo de la grafeo).

C₁ estas ciklo, C₂ estas paro de digonoj (multaj eĝoj), kaj C₃ estas nomita triangulo.

Vojo aŭ ciklo estas hamiltona (aŭ ampleksanta) se ĝi uzas ĉiujn verticojn ĝuste unufoje. Grafeo kiu enhavas Hamiltonan vojon estas spurebla; kaj unu kiu enhavas Hamiltonan vojon por iu ajn donita paro de (distingaj) finverticoj estas hamiltona koneksa grafeo. Grafeo kiu enhavas Hamiltonan ciklon estas Hamiltona grafeo.

Spuro aŭ cirkvito (aŭ ciklo) estas eŭlera se ĝi uzas ĉiujn eĝojn precize unufoje. Grafeo kiu enhavas eŭleran spuron estas trairebla. Grafeo kiu enhavas Eŭleran cirkviton estas eŭlera grafeo. (Vidu ankaŭ en sep pontoj en Königsberg.)

La ekzempla grafeo ne enhavas eŭleran spuron, sed ĝi ja enhavas Hamiltonan vojon.

Du vojoj estas ene disecaj (iuj nomas ĝin sendependa) se ili ne havas ian ajn verticon komune, escepte de la unuan kaj lastan.

θ-grafeo estas la unio de tri ene disecaj (simplaj) vojoj kiu havas la samajn du klarajn finverticojn. θ₀ grafeo havas sep verticojn kiuj povas esti aranĝitaj kiel la verticoj de regula sesangulo plus aldona vertico en la centro. La ok eĝoj estas la perimetro de la sesangulo plus unu diametro.

Arboj

arbo estas koneksa sencikla simpla grafeo. Vertico kun grado 1 estas nomita folio, aŭ penda vertico. Eĝo incida al folio estas folia eĝo, aŭ penda eĝo. Ne-folia vertico estas interna vertico. Ofte, unu vertico de la arbo estas diferencigita, kaj nomita la radiko. Radikigita arbo estas arbo kun radiko. Radikigitaj arboj estas ofte traktitaj kiel direktitaj senciklaj grafeoj kun la eĝoj sagantaj foren de la radiko.

Arboj estas kutime uzataj kiel datumstrukturoj en komputiko (vidu arba datumstrukturo).

Subarbo de la arbo A estas koneksa subgrafeo de A.

Arbaro estas vertico-disa unio de arboj; aŭ, ekvivalente, necikla simpla grafeo.

Subarbaro de la arbaro S estas subgrafeo de S.

Ampleksanta arbo estas ampleksanta subgrafeo kiu estas arbo. Ĉiu grafeo havas ampleksantan arbaron. Sed nur koneksa grafeo havas ampleksantan arbon.

Speciala speco de arbo nomita stelo estas K_1,k (vidu sube ĉe kliko). Generita stelo kun 3 eĝoj estas ungegaro).

k-uma arbo estas radikigita arbo en kiu ĉiu interna vertico havas k infanojn. 1-uma arbo estas simple vojo. 2-uma arbo estas ankaŭ nomita duuma arbo.

Klikoj

La plena grafeo K_n de ordo n estas simpla grafeo kun n verticoj en kiu ĉiu vertico estas apuda al ĉiu alia. La ekzempla grafeo estas ne plena. La plena grafeo sur n verticoj estas ofte signita per K_n. Ĝi havas n(n-1)/2 eĝojn (korespondantajn al ĉiuj eblaj elektoj de paroj de verticoj).

Kliko en grafeo estas aro de duope apudaj verticoj. Ĉar iu ajn subgrafeo generita per kliko estas plena subgrafeo, la du terminoj kaj ilia notacioj estas kutime uzataj interŝanĝeble. k-kliko estas kliko de ordo k. En la ekzempla grafeo pli supre, verticoj 1, 2 kaj 5 formas 3-klikon, aŭ triangulon. Maksimuma kliko estas kliko kiu ne estas subaro de ia alia kliko.

La klika nombro Ω(G) de grafeo G estas la ordo de plej granda kliko en G.

Koneksega komponanto

Rilata sed pli malforta koncepto estas tiu de koneksega komponanto. Neformale, koneksega komponanto de grafeo estas subgrafeo kie ĉiuj verticoj en la subgrafeo estas alireblaj per ĉiuj aliaj verticoj en la subgrafeo. Alirebleco inter verticoj estas farita de la ekzisto de vojo inter la verticoj.

Orientita grafeo povas esti malkomponita en koneksegajn komponantojn per dufoja rulado de la serĉ-algoritmo Profundaĵo-unue (en:DFS): unue, super la grafeo mem kaj poste sur la transpono de la grafeo en malkreskanta ordo de la finado-tempoj de la unua DFS. Donite orientita grafeo G, la transpono G_T estas la grafeo G kun ĉiu eĝo-direktoj renversitaj.

Nodoj

nodo en orientita grafeo estas kolekto de verticoj kaj eĝoj kun la propraĵo, ke ĉiu vertico en la nodo havas elirajn eĝojn, kaj ĉiuj eliraj eĝoj de verticoj en la nodo havas aliajn verticojn en la nodo kiel celojn. Tial estas neeble lasi la nodon sekvante la direktojn de la eĝoj.

Se ĝenerala rimedo grafeo estas celkonforma, tiam nodo estas sufiĉa kondiĉo por (ŝajna?) plenhalto.

(Ĉi tiuj estas tre specialigitaj konceptoj, kiuj estas nekonataj al plej grafeo-teoriistoj.)

Minoroj

Minoro $G_{2}=(V_{2},E_{2})$ de $G_{1}=(V_{1},E_{1})$ estas injekto de $V_{2}$ al $V_{1}$ tia, ke ĉiu eĝo en $E_{2}$ korespondas al vojo (diseca de ĉiuj aliaj tiaj vojoj) en $G_{1}$ tia, ke ĉiu vertico en $V_{1}$ estas en unu aŭ pli vojoj, aŭ estas parto de la injekto de $V_{1}$ al $V_{2}$. Tio alternative povas esti frazita per termoj de kuntiroj, kiuj estas operacioj kiuj kolapsas vojon kaj ĉiujn verticojn en ĝi en solan eĝon (vidu randa kuntiro).

Enigo

Enigo $G_{1}=(V_{1},E_{1})$ de $G_{2}=(V_{2},E_{2})$ estas injekto de $V_{2}$ al $V_{1}$ tia, ke ĉiu eĝo en $E_{2}$ korespondas al vojo (diseca de ĉiuj aliaj tiaj vojoj) en $G_{1}$.

Apudeco kaj grado

En grafeoteorio, grado, aparte tiu de vertico, estas kutime mezuro de senpera apudeco.

eĝo konektas du verticojn; tiuj du verticoj estas diritaj esti incidaj al tiu eĝo, aŭ, ekvivalente, tiu eĝo incidas al tiuj du verticoj. Ĉiuj al grado rilataj konceptoj koncernas apudecon aŭ incidecon.

La grado, aŭ valento, d_G(v) de vertico v en grafeo G estas la nombro de eĝoj incida al v, kun cikloj nombrataj dufoje. Vertico de grado 0 estas izolita vertico. Vertico de grado 1 estas folio. En la ekzempla grafeo verticoj 1 kaj 3 havas gradon de 2, verticoj 2,4 kaj 5 havas gradon de 3 kaj vertico 6 havas gradon de 1. Se E estas finia, tiam la tuta sumo de vertico-gradoj estas egala al duoble la nombro de eĝoj.

Grada vico estas listo de gradoj de grafeo en ne-pligrandiĝanta ordo (ekz. d₁ ≥ d₂ ≥ … ≥ d_n). Vico de ne-pligrandiĝantaj entjeroj estas realigebla se ĝi estas grada vico de iu grafeo.

Du verticoj u kaj v estas konsiderataj apudaj se eĝo ekzistas inter ili. Ni signigas tion per u ↓ v. En la pli supra grafeo, verticoj 1 kaj 2 estas apudaj, sed verticoj 2 kaj 4 ne. La aro de najbaroj de v, tio estas, verticoj apudaj al v sed ne inkluzivantaj v mem, formas generitan subgrafeon nomitan (malfermita) najbarejo de v kaj signigitan per N_G(v). Kiam v estas ankaŭ inkluzivita, ĝi estas nomita fermita najbaraĵo, signifis per N_G[v]. Kiam dirita sen ia kondiĉo, najbarejo estas alprenita esti malfermita. La subindico G estas kutime eliziita kiam estas neniu danĝero de konfuzo la sama najbareja notacio uzeblas ankaŭ por nome arojn de apudaj verticoj anstataŭ la respektivaj generitaj subgrafejoj. En la ekzempla grafeo, vertico 1 havas du najbarojn: verticoj 2 kaj 5. Por simpla grafeo, la nombro de najbaroj, kiun havas vertico koincidas kun ĝia grado.

Dominanta aro de grafeo estas vertica subaro kies fermita najbarejo inkluzivas ĉiujn verticojn de la grafeo. Vertico v dominas alia verticon u se estas eĝo de v al u. Vertica subaro V dominas alian vertican subaron U se ĉiu vertico en U estas najbara al iu vertico en V. La minimuma amplekso de dominanta aro estas la dominada nombro γ(G).

En komputiloj, finia, direktita aŭ nedirektita grafeo (kun n verticoj, ni diru) estas ofte prezentita per ĝia apudeca matrico: n-per-n matrico kies ĉelo en vico i kaj kolumno j donas la nombron de eĝoj de la i^−a ĝis la j^−a vertico.

Spektra grafeoteorio studas interrilatojn inter la propraĵoj de la grafeo kaj ĝia apudeco-matrico.

La maksimuma grado δ(G) de grafeo G estas la plej granda grado super ĉiuj verticoj; la minimuma grado δ(G), la plej malgranda.

Grafeo en kiu ĉiu vertico havas la saman gradon estas regula. Ĝi estas k-regula se ĉiu vertico havas gradon k. 0-regula grafeo estas sendependa aro. 1-regula grafeo estas kongruanta. 2-regula grafeo estas vertice diseca unio de cikloj. 3-regula grafeo nomatas kuba, aŭ trivalenta.

k-faktoro estas k-regula ampleksanta subgrafeo. 1-faktoro estas perfekta kongruanta. Subdisko de eĝoj de grafeo en k-faktoroj estas nomita k-faktorigo. k-faktorigebla grafeo estas grafeo, kiu akceptas k-faktorigon.

Grafeo estas biregula se ĝi havas neegalajn maksimuman kaj minimuman gradojn kaj ĉiu vertico havas unun el tiuj du gradoj.

Forte regula grafeo estas regula grafeo tia, ke iuj ajn apudaj verticoj havas la saman nombron de komunaj najbaroj kiel alia apudaj paroj kaj, ke iuj ajn neapudaj verticoj havas la sama nombro de komunaj najbaroj kiel alia neapudaj paroj.

Sendependeco

En grafeoteorio, la vorto sendependa kutime kunportas la kunsencon de duop-larĝe disa aŭ reciproke neapudaj. En ĉi tiu senco, sendependeco estas formo de senpera neapudeco. Izolita vertico estas vertico ne incida al iaj eĝoj. Sendependa aro, aŭ stabila aro, estas aro de izolitaj verticoj, t.e. neniu paro de verticoj interapudas. Ĉar la grafeo generita de ia ajn sendependa aro estas malplena grafeo, la du terminoj estas kutime uzataj interŝanĝeble. En la ekzemplo pli supre, verticoj 1, 3, kaj 6 formas sendependan aron; kaj 3, 5, kaj 6 formas alian.

La sendependeca nombro α(G) de grafeo G estas la geĝo de plej granda sendependa aro de G.

Grafeo povas esti malkomponita en sendependajn arojn en la senco, ke la tuta vertica aro de la grafeo povas esti dispartigita en duop-larĝe disecajn sendependajn subarojn. Tiaj sendependaj subaroj estas nomitaj partidaj aroj, aŭ simple partoj.

Grafeo, kiu povas esti malkomponita en du partidajn arojn sed ne malpli estas dupartidaj; tri aroj sed ne malpli, tripartidaj; k aroj sed ne malpli, k-partidaj; kaj nekonata nombro de aroj, multpartidaj. 1-parta grafeo estas la sama kiel sendependa aro, aŭ malplena grafeo. 2-parta grafeo estas la sama kiel dupartida grafeo. Grafeo, kiu povas esti malkomponita en k partidajn arojn estas ankaŭ dirita esti k-kolorigebla.

Kompleta multpartida grafeo estas grafeo en kiu verticoj estas najbaraj se kaj nur se ili apartenas al malsamaj partidaj aroj. kompleta dupartida grafeo ankaŭ nomiĝas dukliko.

k-partida grafeo estas duonregula grafeo se ĉiu el ĝiaj partidaj aroj havas uniforman gradon; ekvivalentpartida se ĉiu partida aro havas la saman geĝon; kaj balancita k-partida se ĉiu partida aro diferencas en geĝo per maksimume 1 de iu ajn alia.

La kongruanta nombro α&primo;(G) de grafeo G estas la geĝo de plej granda kongruanta, aŭ duop-larĝaj verticaj disecaj eĝoj, de G.

Ampleksanta kongruado, ankaŭ nomita perfekta kongruado estas kongruantaĵo, kiu kovras ĉiujn verticojn de grafeo).

Konekteco

Konekteco etendas la koncepton de apudo kaj esence estas formo (kaj mezuro) de seria apudeco.

Se estas eble konstati vojon de iu ajn vertico al iu ajn alia vertico de grafeo, la grafeo nomiĝas koneksa; alie, la grafeo estas malkonektita. Grafeo estas tute malkonektita se estas neniu vojo konektanta ian paron de verticoj. Ĉi tiu estas nur alia nomo por priskribi malplenan grafeon aŭ sendependan aron.

Tranĉa vertico, aŭ artika punkto), estas vertico kies forigo malkonektas grafeon. Tranĉi aro, aŭ vertica tranĉo aŭ apartiĝanta aro, estas aro de verticoj kies forigo malkonektas la restan grafeon. Ponto estas analoga eĝo (vidu pli sube).

Se estas ĉiam eble konstati vojon de iu ajn vertico al ĉiu alia eĉ post forpreno de iuj ajn k - 1 verticoj, tiam la grafeo estas dirita esti k-koneksa. Notu, ke grafeo estas k-koneksa se kaj nur se ĝi enhavas k ene disecajn vojojn inter iuj ajn du verticoj. La ekzempla grafeo pli supre estas koneksa (kaj pro tio 1-koneksa), sed ne 2-koneksa. La konekteco κ(G) de grafeo G estas la minimuma nombro de verticoj bezonataj por malkonekti G. Per konvencio, K_n havas konektecon n - 1; kaj malkonektita grafeo havas konektecon 0.

Ponto, aŭ tranĉa eĝo aŭ istmo, estas eĝo kies forigo malkonektas grafeon. (Ekzemple, arbo estas farita tute el pontoj.) Malkonektanta aro estas aro de eĝoj kies forigo pligrandiĝas la nombron de komponantoj. Randa tranĉo estas la aro de ĉiuj eĝoj havantaj unu finvertico en iu pozitiva vertica subaro S kaj alia finvertico en V(G)\S. eĝoj de K₃ formas malkonektantan aron, sed ne randan tranĉon. Iuj ajn du eĝoj de K₃ formas minimuman malkonektantan aron kaj ankaŭ randan tranĉon. Randa tranĉo laŭnecese estas malkonektanta aro; kaj minimuma malkonektanta aro de nemalplena grafeo laŭnecese estas randa tranĉo. Ligo estas malgranda (sed ne necese minimuma), nemalplena aro de eĝoj kies forigo malkonektas grafeon. Tranĉa vertico estas analoga vertico (vidu pli supre).

Grafeo estas k-eĝo-koneksa se iu ajn subgrafeo formita per forpreno de iuj ajn k - 1 eĝoj estas ankoraŭ koneksa. La randa konekteco κ&primo;(G) de grafeo G estas la minimuma nombro de eĝoj bezonataj por malkonekti G. Unu konata rezulto estas ke κ(G) ≤ κ&primo;(G) ≤ δ(G).

Komponanto estas maksimume koneksa subgrafeo; bloko, ĉu maksimume 2-koneksa subgrafeo aŭ ponto kun ĝiaj finverticoj; kaj dukoneksa komponanto estas maksimuma aro de eĝoj en kiu iuj ajn du membroj kuŝas sur komuna simpla ciklo.

Apartiga vertico de grafeo estas vertico kis forigo el la grafeo pliigas ties nombron de konektitaj komponantoj. Dukoneksa komponanto difineblas kiel subgrafeo generita de maksimuma aro de nodoj kiu havas neniun apartigan verticon.

Distanco

La distanco d_G(u, v) inter du (ne necese distingaj) verticoj u kaj v en grafeo G estas la longeco de la plej mallonga vojo inter ili. La suba indico G estas kutime eliziita kiam estas neniu danĝero de konfuzo. Kiam u kaj v estas identaj, ilia distanco estas 0. Kiam u kaj v estas neatingeblaj unu de la alian, ilia distanco estas difinita esti malfinio ∞.

La (discentreco, fokusdiseco) ε_G(v) de vertico v en grafeo G estas la maksimuma distanco de v al iu ajn alia vertico. La diametro diam(G) de grafeo G estas la maksimuma (discentreco, fokusdiseco) super ĉiuj verticoj en grafeo; kaj la radiuso rad(G), la minimuma. Kiam estas du komponantoj en G, tiam diam(G) kaj rad(G) estas difinitaj esti malfinio ∞. Bagatele, diam(G) ≤ 2 rad(G). Verticoj kun maksimuma (discentreco, fokusdiseco) estas nomitaj periferiaj verticoj. Verticoj de minimuma (discentreco, fokusdiseco) formas la centron. Arbo havas maksimume du centrajn verticojn.

La indekso de vertico de Wiener v en grafeo G, signigita per W_G(v) estas la sumo de distancoj inter v kaj ĉiuj aliaj. La Wiener-a indekso de grafeo G, signigita per W(G), estas la sumo de distancoj super ĉiuj paroj de verticoj. Nedirektita grafea Wiener-a polinomo estas difinita esti Σ q^d(u,v) super ĉiuj neordigitaj paroj de verticoj u kaj v. Wiener-a indekso kaj Wiener-a polinomo estas de aparta intereso al matematikaj kemiistoj.

La k^−a potenco G^k de grafeo G estas supergrafeo formita per aldono de eĝo inter ĉiuj paroj de verticoj de G kun distanco maksimume k. Dua potenco de grafeo estas ankaŭ nomita kvadrato.

La k-ampleksanto estas ampleksanta subgrafeo en kiu ĉiuj du verticoj estas maksimume k-oble foraj unu de la alia sur S ol sur G. La nombro k estas la dilatio (angle dilation). k-ampleksanto estas uzata por studi geometrian retan optimumigon.

Genro

Kruciĝo estas paro de intertransaj eĝoj. Grafeo estas enigebla sur surfaco se siaj verticoj kaj eĝoj povas esti aranĝitaj sur ĝi sen ia kruciĝo. La genro de grafeo estas la (plej malalta, plej suba) genro de iu ajn surfaco sur kiu la grafeo povas eniĝi.

Ebeneca grafeo estas tiu kiu povas esti desegnita sur la (Eŭklida) ebeno sen ia kruciĝo; kaj ebeno-grafeo, tiu kiu estas desegnita en tia maniero. En aliaj vortoj, ebeneca grafeo estas grafeo de genro 0. La ekzempla grafeo estas ebeneca; la plena grafeo sur n verticoj, por n> 4, estas ne ebeneca. Ankaŭ, arbo laŭnecese estas ebeneca grafeo.

Kiam grafeo estas desegnita sen ia kruciĝo, iu ajn ciklo kiu ĉirkaŭbaras regionon sen ke ia eĝo atingus el la ciklo ĝis tia regiono formas edron. Du edroj sur ebeno-grafeo estas najbaraj se ili komunhavas komunan eĝon. Duala, aŭ ebeneca duala kiam la ĉirkaŭteksto bezonas esti klarigita, G^* de ebeno-grafeo G estas grafeo kies verticoj prezentas la edrojn, inkluzivanta iu ajn ekstera edro, de G kaj estas apudaj en G^* se kaj nur se iliaj respektivaj edroj estas apudaj en G. La dualo de ebeneca grafeo ĉiam estas ebeneca pseŭdografeo (ekz. konsideru la dualon de triangulo). En la familiara kazo de 3-koneksa simpla ebeneca grafeo G (izomorfia al konveksa pluredro P), la duala G^* estas ankaŭ 3-koneksa simpla ebeneca grafeo (kaj izomorfia al la duala pluredro P^*).

Aldone, ĉar ni povas konstatigi sencon de "eno" kaj "ekstero" sur ebeno, ni povas identigi "plej eksteran" regionon, kiu enhavas la tutan grafeo se la grafeo ne kovras la tutan ebenon. Tia plej ekstera regiono estas nomita ekstera edro . eksterebeniva grafeo) estas unu kiu povas esti desegnita en la ebeneca maniero tia, ke ĝiaj verticoj estas ĉiuj apudaj al la ekstera edro; kaj eksterebena grafeo, unu kiu ja estas desegnita en tia maniero.

La minimuma nombro de kruciĝoj kiu devas aperi kiam grafeo estas desegnita sur ebeno estas nomita la kruciĝa nombro.

La minimuma nombro de ebenecaj grafeoj bezonataj por kovri grafeon estas la dikeco de la grafeo.

Pezitaj grafeoj kaj retoj

Pezigita grafeo asociigas etikedan markon (pezo) kun ĉiu eĝo en la grafeo. Pezoj estas kutime reelaj nombroj. Ili povas esti limigitaj al racionalaj nombroj aŭ entjeroj. Certaj algoritmoj postulas pliajn limigojn al pezoj; ekzemple, la Dijkstra-algoritmo funkcias ĝuste nur por pozitivaj pezoj. La pezo de vojo aŭ la pezo arba en pezita grafeo estas la sumo de la pezoj de la elektitaj eĝoj. Fojfoje ne-eĝo estas markita per speciala pezo prezentanta malfinion. Fojfoje la vorto kosto estas uzata anstataŭ pezo. Kiam dirita sen ia kondiĉo, grafeo estas ĉiam alprenita esti nepezita. En iuj skriboj pri grafeoteorio la termino reto estas sinonimo por pezigita grafeo. Reto povas esti direktita aŭ nedirektita, ĝi povas enhavi specialajn verticojn (nodojn), kiel fonto aŭ dreno. La klasika reto-problemoj inkluzivas:

• minimum-kosta ampleksanta arbo,
• plej mallonga vojo,
• maksimuma fluo (kaj la maksimum-flua minimum-tranĉa teoremo)

Direkto

Arko, aŭ direktita eĝo, estas ordigita duopo de finverticoj. En tia ordigita duopo, la unua vertico estas nomita kapo, aŭ komenca vertico; kaj la dua, vosto, aŭ fina vertico. Ĝi povas esti kosiderata eĝo asociita kun direkto, nome atribuanta kapon kaj voston al la finverticoj. Nedirektita eĝo malobservas ian ajn sencon de direkto kaj traktas ambaŭ finverticojn interŝanĝeble. Ciklo en (orientita grafeo, duliteraĵo), tamen, konservas sencon de direkto kaj traktas kaj kapon kaj voston idente. Aro de arkoj estas multoblaj, aŭ paralelaj, se ili komunhavas la saman kapon kaj la saman voston. Paro de arkoj estas kontraŭ-paralelaj se la kapo/vosto de iu estas la vosto/kapo de la alia. Digrafeo aŭ duliteraĵo, aŭ orientita grafeo, estas analoga al nedirektita grafeo escepte de ke ĝi enhavas nur arkojn. Miksita grafeo povas enteni kaj orientitajn kaj neorientitajn grafeojn. Kiam dirita sen ia kondiĉo, grafeo estas preskaŭ ĉiam alprenita esti nedirektita. Ankaŭ, (orientita grafeo, duliteraĵo) estas kutime alprenita enhavi ne nedirektitajn eĝojn.

(Orientita grafeo, Duliteraĵo) estas nomita simpla se ĝi havas neneiajn ciklojn kaj maksimume unu arkon inter iu ajn paro de verticoj. Kiam dirita sen ia kondiĉo, (orientita grafeo, duliteraĵo) estas kutime alprenita esti simpla.

En (orientita grafeo, duliteraĵo) γ, ni (distingi, diferencigi) la eliran gradon d_γ⁺(v), la nombron de eĝoj lasantaj verticon v, disde la eniran gradon d_γ⁻(v), la nombron de eĝoj enirantaj verticon v. Se la grafeo estas orientita, la grado d_γ(v) de vertico v estas egala al la sumo de ĝiaj eliraj kaj eniraj gradoj. Kiam la ĉirkaŭteksto estas klara, la suba indico γ povas esti eliziita. Maksimumaj kaj minimumaj eliraj gradoj, estas signitaj per δ⁺(γ) kaj δ⁺(γ); kaj maksimumaj kaj minimumaj eniraj gradoj, per δ⁻(γ) kaj δ⁻(γ).

Elira najbarejo, aŭ posteula aro, N⁺_γ(v) de vertico v estas la aro de vostoj de arkoj irantaj de v. Simile, enira najbarejo, aŭ antaŭula aro, N⁻_γ(v) de vertico v estas la aro de kapoj de arko iranta al en v.

Fonto estas vertico kun enira duongrado 0; kaj profundiĝi, elira duongrado 0.

Vertico v dominas alian verticon u se estas arko de v al u. Vertica subaro S estas elire dominanta se ĉiu vertico ne en S estas dominita de iu vertico en S; kaj enire dominanta se ĉiu vertico en S estas dominita de iu vertico ne en S.

Kerno estas sendependa elire dominanta aro. (Orientita grafeo, Duliteraĵo) estas kerno-perfekta se ĉiu generita subdigrafeo (sub-(orientita grafeo, duliteraĵo)) havas kernon.

Eŭlera digrafeo (orientita grafeo, duliteraĵo) estas digrafeo (orientita grafeo, duliteraĵo) kun egalaj eniraj kaj eliraj gradoj je ĉiu vertico.

Orientigo estas asigno de direktoj al la eĝoj de neorientita aŭ parte orientita grafeo. Kiam dirita sen ia kondiĉo, estas kutime alprenite, ke ĉiuj nedirektitaj eĝoj estas anstataŭigitaj per direktita en ia orientiĝo. Ankaŭ, la subkuŝanta grafeo estas kutime alprenita esti nedirektita kaj simpla.

turniro estas digrafeo (orientita grafeo, duliteraĵo) en kiu ĉiu paro de verticoj estas koneksa per ĝuste unu arko. En aliaj vortoj, ĝi estas orientita plena grafeo.

Direktita vojo, aŭ simple vojo kiam la ĉirkaŭteksto estas klara, estas orientita simpla vojo tia, ke ĉiuj arkoj iras la saman direkton, kio signifas ke ĉiuj internaj verticoj havas enirajn kaj elirajn duongradojn 1. Vertico v estas atingebla de alia vertico u se estas direktita vojo, kiu komenciĝas ĉe u kaj finiĝas ĉe v. Notu, ke en ĝeneralo la kondiĉo, ke u estas atingebla de v ne enhavas, ke v estas ankaŭ atingebla de u.

Se v estas atingebla de u, tiam u estas antaŭulo de v kaj v estas posteulo de u. Se estas arko de u al v, tiam u estas rekta antaŭulo de v, kaj v estas rekta posteulo de u.

Digrafeo (Orientita grafeo, Duliteraĵo) estas forte koneksa se ĉiu vertico estas atingebla de ĉiu alia sekvante la direktojn de la arkoj. Kontraŭe, digrafeo estas malforte koneksa se ĝia subkuŝanta nedirektita grafeo estas koneksa. Malforte koneksa grafeo povas esti konsiderata digrafeo (orientita grafeo, duliteraĵo) en kiu ĉiu vertico estas "atingebla" de ĉiu alia sed ne necese per sekvado de la direktoj de la arkoj. Forta orientiĝo estas orientiĝo kiu produktas forte koneksan digrafeon.

Direktita ciklo, aŭ simple ciklo kiam la ĉirkaŭteksto estas klara, estas orientita simpla ciklo tia, ke ĉiuj arkoj iras la saman direkton, kio signifas ke ĉiuj verticoj havas enirajn kaj elirajn gradojn 1. Digrafeo (Orientita grafeo, Duliteraĵo) estas necikla se ĝi ne enhavas ian direktitan ciklon. Finia, necikla digrafeo sen izolitaj verticoj laŭnecese enhavas almenaŭ unu fonton kaj almenaŭ unu drenon. Vidu ankaŭ jenon: direktita necikla grafeo (en:'dag) por pli da informo.

Arborescenco, aŭ elira arbo aŭ (branĉanta, forkiĝanta), estas orientita arbo en kiu ĉiuj verticoj estas atingeblaj de sola vertico. Simile, en-arbo estas orientita arbo en kiu sola vertico estas atingebla de ĉiu alia.

Diversaj

Grafea invarianto estas propraĵo de Grafeo G, kutime nombro aŭ polinomo, kiu dependas nur de la izomorfia klaso de G. Ekzemploj estas grafeo-ordo, grafeo-genro, kolora nombro, kaj kolora polinomo de la grafeo..

Por esti kunfandita

Notu, ke antaŭ ol la enkonduko de grandaj komputilaj retoj, grafeoteorio estis granda kampo sen vasta intereso aŭ apliko. Ĉar reta analitiko jam iĝas vitala komerca intereso, ne-kleruloj estas priamasintaj la kampon kaj popularigantaj certajn terminojn.

grafeo, reto

Abstraktado de interrilatoj inter objektoj. Grafeoj konsistas ekskluzive de verticoj kaj eĝoj. Ĉiuj karakterizaĵoj de sistemo estas aŭ eliminitaj aŭ subsumita en ĉi tiujn erojn.

figuro

Videbla bildigo de la abstrakta koncepto de grafeo.

punkto, nodo, vertico

Objektoj ("aĵoj") prezentitaj en grafeo. Ĉi tiuj estas preskaŭ ĉiam bildigitaj kiel rondaj punktoj.

eĝo, ligo, arko

Interrilatoj prezentitaj en grafeo. Ĉi tiuj estas ĉiam bildigitaj kiel rekta aŭ kurbaj linioj. La termino "arko" povas esti iluzia.

neidentigita

Verticoj aŭ eĝoj kiuj estas ne konsideritaj kiel individuoj. Nur la maniero laŭ kiu ili konektiĝas al la cetero de la grafeo karakterizas neidentigitajn verticojn kaj eĝojn.

koloro, kolorigita, identigita

Nodoj aŭ eĝoj kiuj estas konsideritaj kiel individuoj. Kvankam ili povas reale esti bildigitaj en figuroj en malsamaj koloroj, laborantaj matematikistoj ĝenerale enkrajonas nombrojn aŭ literojn.

nedirektita

Grafeo en kiu ĉiu eĝo simbolas neordigitan, transitivan interrilaton inter du verticoj. Tiaj eĝoj estas bildigitaj kiel simplaj linioj aŭ arkoj.

direktita, digrafeo (orientita grafeo, duliteraĵo)

Grafeo en kiu ĉiu eĝo simbolas orditan, netransitivan interrilaton inter du verticoj. Tiaj eĝoj estas bildigitaj kun sagpinto je unu fino de linio aŭ arko.

nepezigita

Grafeo en kiuj ĉiuj interrilatoj simbolitaj per eĝoj estas konsideritaj ekvivalentaj. Tiaj eĝoj estas bildigitaj kiel simplaj linioj aŭ arkoj.

pezigita eĝo

Pezigitaj eĝoj simbolas interrilatojn inter verticoj kiuj estas konsiderataj havi ian valoron, ekzemple, distanco aŭ lam-tempo. Tiaj eĝoj estas kutime prinotita per nombro aŭ litero lokita apud la eĝo.

pezigita vertico

Pezigitaj verticoj ankaŭ havas iun valoron malsaman al sia identigo.

apuda

Du eĝoj estas apudaj se ili komune havas verticon; du verticoj estas apudaj se ili komune havas eĝon.

grado

La nombro de eĝoj kiuj konektas verticon.

regula

Grafeo en kiu ĉiu vertico havas la saman gradon.

kompleta

Grafeo en kiu ĉiu nodo estas ligita al ĉiu alia nodo. Por kompleta digrafeo (orientita grafeo, duliteraĵo), tio signifas po unu ligo en ĉu direkto (el la du).

raŭto

Vico de eĝoj kaj verticoj de unu vertico al alia. Iu ajn donita eĝo aŭ vertico povus esti uzata pli ol unufoje.

vojo

Vojo kiu ne pasas ian ajn eĝon pli ol unufoje. Se la vojo ne pasas ian verticon pli ol unufoje, ĝi estas simpla vojo.

koneksa

Se iu vojo ekzistas de ĉiu vertico al ĉiu alia, la grafeo estas koneksa. Notu, ke iuj grafeoj estas ne koneksaj. Figuro de nekonektita grafeo povas aspekti kiel du aŭ pli nerilatajn figurojn, sed ĉiuj verticoj kaj eĝoj montritaj estas konsideritaj kiel unu grafeo.

maŝo, ciklo

Vojo kiu finiĝas ĉe la vertico ĉe kiu ĝi komenciĝas.

arbo

Koneksa grafeo sen cikloj.

simpleca vertico

Vertico v estas simpleca se ĉiuj ĝiaj najbaroj estas interkonektitaj. Iu ajn aro de konektitaj simpleca verticoj formas klikon.

Eŭlera vojo

Vojo kiu pasas tra ĉiu eĝo (unufoje kaj nur unufoje). Se la komenca kaj fina verticoj estas la samaj, ĝi estas Eŭlera ciklo aŭ Eŭlera cirkvito. Se la komenca kaj fina verticoj estas malsamaj, ĝi estas Eŭlero spuro.

Hamiltona vojo

Vojo kiu pasas tra ĉiu vertico unufoje kaj nur unufoje. Se la komenca kaj fina verticoj estas apudaj, ĝi estas Hamiltona ciklo.

Vidu ankaŭ

• Grafeo (matematiko)
• Grafeoteorio

Bibliografio

Angle

• Bollobás, Béla (1998). Modern Graph Theory ~Moderna Grafeo Teorio. (Novjorko, NY): Springer-Verlag. ISBN 0-387-98488-7. [Pakita kun plibonigitaj temoj sekvis per historia ĝenerala priskribo je la fino de ĉiu ĉapitro.]
• Diestel, Reinhard (2005), "Graph Theory, Third Edition". Springer. ISBN 3-540-26182-6 ["Standard textbook, most basic material and some deeper results, exercises of various difficulty and notes at the end of each chapter; known for being quasi error-free."]
• West, Duglaso B. (2001). Introduction to Graph Theory ~Enkonduko al Grafeo Teorio (2ed). Upper Saddle River: Prentice Hall;. ISBN 0-13-014400-2. [Tunoj de ilustraĵoj, referencoj, kaj ekzercas. La plej kompleta komencdira gvidilo al la subjekto.]
• Eriko W. Weisstein. "Graph." ~Grafeo. De MathWorld—A Wolframo Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Graph.html
• Zaslavsky, Tomaso. "Glossary of signed and gain graphs and allied areas. ~Glosaro de signitaj kaj gajnaj grafeoj kaj aliancanitaj areoj. Elektronika Ĵurnalo de Kombinatoriko, Dinamikaj Katastroj en Kombinatoriko, # DS 8. http://www.kombinatoriko.org/Katastroj/