5-a postulato
La kvina postulato (aŭ aksiomo de paralelaĵoj) de la de Elementoj de Geometrio de Eŭklido estas grava postulato, ĉar sen ĝi oni ne povas pruvi la plej fundamentajn propoziciojn de la Geometrio. Ekzemple, se oni ne agnosku la kvinan postulaton, oni ne povas pruvi ke la sumo de la tri anguloj de triangulo estas egala je 180 gradoj (la grekoj dirus “egala je du ortaj anguloj”).
Ĉi tiu estas la fama kvina postulato: “Se rekto incidenta sur du rektoj faras ke la internaj anguloj de la sama flanko estu malpli larĝaj ol du ortaj anguloj, la du senĉese plilongigataj rektoj renkontiĝos en la flanko en kiu estas la anguloj kiuj estas malpli larĝaj ol du ortaj.”
Ekzistas multaj ekvivalentaj vortigoj de la postulato.
Multaj matematikistoj provis derivi la postulaton el la kvar unuaj aksiomoj de Eŭklido, sed malsukcesis. En 1826 Nikolaj Ivanoviĉ Lobaĉevskij prezentis alternativan geometrion, nome hiperbola geometrio, kiu plenumis la kvar unuajn aksiomojn, sed ne la kvinan. Per tio li pruvis, ke tiu ĉi estas sendependa de la aliaj. Laŭdire jam Carl Friedrich Gauss eltrovis tion, sed ne publikigis.