Eksponenta malkresko

Eksponentaj funkciaj disfaloj kun malsamaj rapidoj

Kvanto estas sub eksponenta disfalo se ĝi malgrandiĝas je kurzo proporcia kun ĝia valoro. Ĉi tio povas esti esprimita kiel jena diferenciala ekvacio, kie N estas la kvanto kaj λ estas pozitiva nombro nomata kiel la disfala konstanto:

${\frac {dN}{dt}}=-\lambda N$

La solvaĵo al ĉi tiu ekvacio estas

$N=Ce^{-\lambda t}\$

Ĉi tiu estas la formo de la ekvacio kiu estas plej kutime uzata por priskribi eksponentan funkcian disfalon. La konstanto de integralado C estas ofte skribata kiel $N_{0}\$ , ĉar ĝi signifas la originalan kvanton.

Solvo de la diferenciala ekvacio

La ekvacio kiu priskribas la eksponentan funkcian disfalon estas

${\frac {dN}{dt}}=-\lambda N\$

Disfendante la variablojn rezultas

${\frac {dN}{N}}=-\lambda dt\$

Integralante rezultas

$\ln N=-\lambda t+D\$

$N=Ce^{-\lambda t}\$

kie: $C=\ e^{D}.$

Mezuro de disfalo: duoniĝtempo kaj averaĝa vivperiodo

Grava karakterizo de eksponenta disfalo estas la tempo postulata por la disfalanta kvanto por fali al duono de ĝia komenca valoro. Ĉi tiu tempo estas nomata kiel la duoniĝtempo, kaj ofte skribata kiel $t_{1/2}\$. La ekvacio priskribanta duoniĝtempon estas

$N(t_{1/2})={\frac {N(0)}{2}}$

kaj do

$t_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda }}$

Jena tabelo montras la malpligrandiĝon de la kvanto:

Duoniĝtempoj trapasis	Centonoj de kvanto ankoraŭ restas
0	100%
1	50%
2	25%
3	12,5%
4	6,25%
5	3,125%
6	1,5625%
7	0,78125%

Iuj formoj de eksponenta disfalo havas alternativan karakterizadon. Se la disfalanta kvanto estas la kvanto de diskretaj eroj de aro, eblas komputi la averaĝan longon de tempo por kiu ero restas en la aro. Ĉi tio estas nomata kiel la meznombra vivperiodo, kaj estas priskribata per la ekvacio

$\tau =\langle t\rangle =\int _{0}^{\infty }t\cdot c\cdot N_{0}e^{-\lambda t}\,dt$

kie c estas konstanta tia ke probablo de la tuto estu 1. Ĝi estas kalkulata surbaze de tio ke

$1=\int _{0}^{\infty }c\cdot N_{0}e^{-\lambda t}\,dt=c\cdot {\frac {N_{0}}{\lambda }}$

kaj do

$c={\frac {\lambda }{N_{0}}}$

De ĉi ĉio

$\tau =\int _{0}^{\infty }\lambda te^{-\lambda t}\,dt={\frac {1}{\lambda }}$

La vivtempo de ĉi aparta ero estas tiam de eksponenta distribuo.

Disfalo per du aŭ pli multaj procezoj

Kvanto povas disfali tra du aŭ pli multaj malsamaj procezoj samtempe. Ĉi tiuj procezoj povas havi malsamajn probablojn de okazo, kaj tial okazi je malsama kurzoj kun malsamaj duoniĝtempoj. Ekzemple, ĉe du samtempaj disfalaj procezoj

$-{\frac {dN(t)}{dt}}=N\lambda _{1}+N\lambda _{2}=(\lambda _{1}+\lambda _{2})N$

kaj la disfalo de la kvanto N estas donita per:

$N(t)=N_{0}e^{-\lambda _{1}t}e^{-\lambda _{2}t}=N_{0}e^{-(\lambda _{1}+\lambda _{2})t}$

La tuteca duoniĝtempo $T_{1/2}$ tiam estas

$T_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}$

aŭ, en per la apartaj duoniĝtempoj

$T_{1/2}={\frac {1}{{\frac {1}{t_{1}}}+{\frac {1}{t_{2}}}}}={\frac {t_{1}t_{2}}{t_{1}+t_{2}}}$

kie $t_{1}$ estas la duoniĝtempo de la unua procezo, kaj $t_{2}$ estas la duoniĝtempo de la dua procezo.

Aplikoj kaj ekzemploj

Eksponenta disfalo okazas en larĝa diversaĵo de situacioj. La plejparto de ĉi tiuj estas en la domajno de la natursciencoj. Ĉiu apliko de matematiko al la socia scienco aŭ homa scienco estas riska kaj malcerta, pro la eksterordinara komplekseco de homa konduto. Tamen, kelkaj malglate eksponentej disfalantaj fenomenoj estas identigitaj ankaŭ tie.

Multaj disfalaj procezoj kiuj estas ofte traktataj kiel eksponentaj, estas reale nur eksponentaj se la specimeno estas granda kaj la leĝo de grandaj nombroj veras. Por malgrandaj specimenoj, pli ĝenerala analitiko estas necesa, por procezo de Poisson.

Naturscienco

• En specimeno de radioaktiva izotopo aŭ alia partikloj kiuj spertas radioaktivan disfalon al malsama stato, la kvanto de partikloj en la originala stato sekvas eksponentan funkcian disfalon.

• Se objekto je unu temperaturo estas eksponita al mediumo de alia temperaturo, la temperatura diferenco inter la objekto kaj la mediumo sekvas eksponentan funkcian disfalon.

• La kurzoj de certaj tipoj de kemiaj reakcioj dependas de la koncentriteco de unu aŭ alia fonta substanco. Ĉi tia reakcia kurzo do sekvas eksponentan funkcian disfalon. Ekzemple, enzimo-katalizitaj reakcioj kondutas ĉi tiel.

• Atmosfera premo malgrandiĝas eksponente kun pligrandiĝo de alto pli supre de marnivelo, je kurzo de proksimume 12% por 1000 m.

• La elektra ŝargo (aŭ, ekvivalente, la potencialo) havata en kondensatoro disfalas eksponente tra paralela al ĝi rezistilo. Tiam λ=1/(RC) kie C estas la kapacitanco kaj R estas la rezistanco. Plu, la speciala okazo de kondensatoro disŝarganta tra kelkaj paralelaj rezistiloj estas ekzemplo de multaj disfalaj procezoj, kun ĉiu rezistilo prezentanta apartan procezon. Fakte, la esprimo por la ekvivalenta rezistanco de du rezistiloj en paralelo similas al la esprimo por la duoniĝtempo kun du disfalaj procezoj.

• Vibrado trankviliĝas eksponente.

• En farmakologio, la korpo metabolas multajn esencojn en eksponenta maniero. La duoniĝtempo de drogo estas mezuro de tio kiel rapide la drogo estas metabolata per la korpo.

Socia scienco

• La populareco de furoroj, modoj kaj alia kultura memeoj (ekzemple, servado de popularaj filmoj) ofte disfalas eksponente.

• La kampo de lingva historio provas difini tempon pasintan post eko de diverĝenco de du lingvoj de komuna pralingvo, uzante la supozon ke lingvaj ŝanĝoj estas je neŝanĝiĝema kurzo; kun donita ĉi tiu supozo, oni atendi ke la simileco inter ili (la kvanto de propraĵoj de la lingvoj kiuj estas ankoraŭ identaj) malgrandiĝas eksponente.

• En historio de scienco, iuj kredas ke la korpo de scio de ĉiu aparta scienco estas laŭgrade dispruvata laŭ eksponenta disfala ŝablono.

Vidu ankaŭ

• Eksponento
• Eksponenta funkcio
• Eksponenta kresko
• Disfalo