Ekvacio de Ĉebiŝev

El Vikipedio, la libera enciklopedio
Saltu al: navigado, serĉo

Ekvacio de Ĉebiŝev estas lineara ordinara diferenciala ekvacio de la dua ordo

kie p estas reela konstanto. La ekvacio estas nomita post rusia matematikisto Pafnutij Ĉebiŝov.

La solvaĵoj estas ricevita per potencoserio:

kie la koeficientoj obeas la rikuran formulon

Ĉi tiu serio konverĝas por x en [-1, 1], kio povas vidiĝi per apliko de la rilatuma provo al la rikura rormulo.

La rikuro povas esti startita kun ajnaj valoroj de a0 kaj a1, donante la du-dimensian spacon de solvaĵoj, kio estas pro la dua ordo de la diferenciala ekvacio. Estas du sendependaj solvaĵoj kiuj estas serioj por la valoroj de a0 kaj a1:

a0 = 1 ; a1 = 0
a0 = 0 ; a1 = 1

La ĝenerala solvaĵo estas ĉiu lineara kombinaĵo de ĉi tiuj du.

Se p estas entjero, unu aŭ la alia el la du funkcioj havas sian serion finitan post finia kvanto de termoj: F finias se p estas para, kaj G finias se p estas nepara.

En ĉi tiu okazo, tiu funkcio kiu estas polinomo de p-a grado (konverĝanta ĉie), kaj ĉi tiu polinomo estas proporcia kun la p-a polinomo de Ĉebiŝev.