Formulo de duona rivolua sinuso

En sfera trigonometrio, formulo de rivolua sinuso aŭ formulo de haversin estas ekvacio kun funkcio haversin pri anguloj aŭ distancoj inter punktoj sur sfero.

Estas du variantoj de la formulo:

• pri ĉefcirkla distanco (laŭ ĉefcirklo de la sfero) inter du punktoj de iliaj longitudoj kaj latitudoj;
• pri lateroj kaj anguloj de sfera triangulo, analoga al la sfera leĝo de kosinusoj.

La uzata funkcio estas difinita kiel:

$\operatorname {haversin} (\theta )={\frac {1-\cos(\theta )}{2}}$

Ankaŭ veras ke:

$\operatorname {haversin} (\theta )=\left(\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\right)^{2}$

Malsimile al la kosinuso cos, uzo de haversin por malgrandaj θ ne donas grandan perdon de precizeco.

Varianto kun longitudoj kaj latitudoj

Estu du punktoj sur sfero de radiuso R kun latitudoj φ₁ kaj φ₂, latituda apartigo Δφ = φ₁ − φ₂, kaj longituda apartigo Δλ, kie anguloj estas en radianoj. Tiam la ĉefcirkla distanco d inter la du punktoj estas:

$\operatorname {haversin} \left({\tfrac {d}{R}}\right)=\operatorname {haversin} (\Delta \phi )+\cos(\phi _{1})\cos(\phi _{2})\ \operatorname {haversin} (\Delta \lambda )$

Estu h = haversin(d/R) kaj do

$h=\operatorname {haversin} (\Delta \phi )+\cos(\phi _{1})\cos(\phi _{2})\ \operatorname {haversin} (\Delta \lambda )$

Tiam eblas solvi por d per la inversa funkcio de haversin aŭ per la sinusarko (inversa funkcio de sinuso):

$d=R\,\operatorname {haversin} ^{-1}(h)=2R\arcsin({\sqrt {h}}\,)$

Dum uzo de ĉi tiuj formuloj, se h proksimiĝas al 1 la flosanta punkta eraro pligrandiĝas. h proksimiĝas al 1 nur por antipodaj punktoj (sur transaj flankoj de la sfero). Tamen, ĉar d estas tiam granda, proksimiĝas al πR, duono la perimetro, la eraro estas ofte ne tiel grava. La formuloj povas esti skribitaj ankaŭ per la tangentarko, sed ankaŭ ĉi tiu varianto suferas de similaj ciferecaj problemoj se h proksimiĝas al 1.

Ĉi tiu formulo estas nur proksimuma kalkulado por distancoj sur Tero, ĉar Tero estas ne perfekta sfero. Ĝia radiuso R varias inter duono de distanco inter la polusoj 6356,78 km kaj radiuso de la ekvatoro 6378,14 km. Se uzi la geometrian meznombron 6367,45 km, la maksimuma eraro estas proksimume 0,1%.

Varianto kun sfera triangulo

Sfera triangulo

Simila formulo povas ankaŭ esti skribita por okazo la sama kiel en la sfera leĝo de kosinusoj, sen latitudoj kaj longitudoj.

Estu unuobla sfero, estu sfera triangulo sur la sfero difinita per la ĉefcirkloj konektantajn tri punktojn u, v kaj w sur la sfero. Se la longoj de ĉi tiuj tri lateroj estas a (de u al v), b (de u al w), kaj c (de v al w), kaj la angulo kontraŭa al c estas C, tiam la leĝo de haversin estas:

haversin(c) = haversin(a − b) + sin(a) sin(b) haversin(C)

La longoj a, b, kaj c estas simple egalaj al la centraj anguloj (en radianoj) al la lateroj el centro de la sfero (por ne-unuobla sfero, la longoj egalas al la centraj anguloj multiplikitaj per radiuso de la sfero).

Por ke ricevi la lastan formulon el la formulo de la antaŭa sekcio, oni prenu ke u estas la norda poluso. Tiam a = π/2 − φ₁ kaj b = π/2 − φ₂, C = Δλ, kaj c = d/R. Kun tio ke sin(π/2 − φ) = cos(φ), la formulo kun haversin tuj sekvas.

La alia varianto de ricevado de la formulo estas startanta kun la sfera leĝo de kosinusoj:

cos(c) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) cos(C)

Oni anstataŭigu per cos(θ) = 1 − 2 haversin(θ) dufoje kaj per cos(a − b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b), kaj la formulo kun haversin tuj sekvas.

Estante solvata por c, la formulo kun cos(c) donas grandan rondigan eraron se c estas malgranda, kaj la formulo kun haversin(c) estas multe pli bone en ĉi tiu senco.

Eksteraj ligiloj

• [1] spegulita ĉi tien Kio estas la plej bona maniero por kalkuli distancon inter 2 punktoj?]
• JavaScript realigo de formulo de Haversin por trovi distancon inter du latitudo-longitudaj punktoj
• Derivado de formulo de haversin, Ask Dr. Math (Apr. 20-21, 1999) (el R. W. Sinnott, "Virtoj de la haversin", Ĉielo kaj Teleskopo 68 (2), 159 (1984)).
• Sfera trigonometrio de Romuald Ireneus 'Scibor-Marchocki